LE
PROBLEME
Il s'agit du problème A816
de Diophante.fr
Quelle peut être la limite pour n infini de la suite
Xn définie par
X0 = 8358/8051,
X1 = 1506/1393,
X2 = 294/251,
Xn+1 = 2024 - 12119/ Xn + 22204 / (Xn
* Xn-1) - 12108 / (Xn
* Xn-1 * Xn-2)
?
ANALYSE
puis SOLUTION
Calculons et
observons :
La première idée est de lancer un calculateur et d'observer
les résultats obtenus :
X0 = 1.0381319090796175
X1 = 1.0811198851399857
X2
~ 1.1713147410358566...
X3
~ 1.3469387755103526...
X4
~ 1.6363636365849743...
X5
~ 2.000000272906618
X6
~ 2.3336086505387357...
X7
~ 2.8094824082452305...
X8
~ 173.6991603511592
X9
~ 1989.0973715649056 ....
X10
~ 2017.9590785261403...
X11~
2017.9999416633216...
.
X16 ~ 2017.9999999999998...
.
ET à partir de là nous trouvons toujours 2018 sur calculatrice
ou du moins 2017.999..... avec uniquement des décimales égales
à 9.
Il suffit de contrôler les résultats sur l'animation
suivante avec la valeur décimakle approximative.
De là à
penser que la limite est 2018 il n'y a qu'un petit pas que l'on franchit
aisément surtout en l'année 2018...
CEPENDANT... non, la limite n'est pas 2018.
Notons que les résultats fractionnaires sont valables plus
longtemps que les calculs avec notations décimales encore plus
approximatifs.
A partir de n=7, les résultats sont assez différents
puis divergent complètement !
Le calcul fractionnaire est encore correct mais ce n'est
plus le cas du calcul décimal sur machine.
CLIQUER
Que se passe-t-il ?
Une
machine aussi performante soit-elle, ne peut mémoriser qu'un
nombre fini (même s'il peut être grand) de décimales.
Elle travaille donc avec des valeurs approchées qui ici, dans
le premier calcul automatique avec valeurs décimales, provoquent
des erreurs qui se cumulent d'étape en étape. Les résultats
deviennent aléatoires au bout d'un certain temps .
C'est le cas ici à partir du terme X7.
Ce
genre d'erreur, se produit quelle que soit la performance et quelles
que soient les capacités du calculateur utilisé.
Inutile de changer de machine, cela ne fera que déplacer le
problème.
Nous DEVONS raisonner rigoureusement avant de lancer un calcul mécanique.
RAISONNONS
et calculons rigoureusement
Nous procèderons
de la manière que pour
le problème E10042.htm.
Les résultats corrects sont obtenus dans l'animation suivante
en utilisant un calcul raisonné donnant les bonnes fractions
avec numérateur et dénominateurs entiers et calculés
rigoureusement.
Les calculs sont dans le fichier
suivant : EA816.pdf
D'autres sont accessibles chez Diophante.
Le
résultat approximé en décimal, du deuxième
calcul de l'animation précédente est obtenu à
partir du quotient du numérateur par le dénominateur,
ces deux entiers sont calculés exactement sans aucune approximation.
Malgré tout quand ces entiers deviennent très grands
(pour le calculateur utilisé), ils sont notés en écriture
exponentielle.
CEPENDANT le résultat mémorisé en machine est
correct et l'approximation décimale du dernier rapport
est correcte et tend bien vers la valeur 6.
CONCLUSION
Se méfier des résultats approximatifs des calculatrices
tout spécialement lorsque les calculs se répètent
: les erreurs s'ajoutent.
Il faut user avec modération des calculatrices.
