Imagina
una superficie en la que las dos caras se convierten en
una sola; llegarás al otro lado sin cambiar nunca de cara
y sin atravesar el borde. Es la banda de Möbius.
Coge una larga cinta de papel y une los extremos después
de haber dado media vuelta con uno de ellos tal como se
indica aquí al lado.
Tienes una banda de Möbius, apellido
de Augusto Möbius, que publicó una construcción sobre
ella en 1865.
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Sigue la
mosca... la banda no tiene más que un solo borde.
Si de un punto cualquiera trazamos una línea en una dirección
no pasando por el borde, nos encontramos a mitad de camino con
el punto de partida, pero en el otro lado del papel. Continuamos
y nos volveremos a encontrar entonces con el punto de partida,
en el mismo lado.
Sigue la
mosca... la banda no tiene más que una sola cara.
Como no tiene más que una cara, una cinta transportadora a
la que le se habría dado media vuelta estará usada de forma regular
por los dos lados.
Varias
marcas de
imprenta matricial utilizaban casetes con una banda de Möbius.
La banda estaba tintada por los 'dos' lados. El pliegue de la
banda era puesto en marcha por una lengüeta de plástico situada
justo antes de su salida.
Algunas personas bastante ingeniosas volvían a poner tinta en
esta banda hasta una decena de veces, con una tinta de calidad,
buenos guantes y sobre todo una buena dosis de buen hacer.
Muchos usuarios ignoraban evidentemente que su casete era una
banda de Möbius.
Se
puede extender una banda cilíndrica (dos caras y dos bordes)
entre dos rodillos.
Para la banda de Möbius (una sola cara y un solo borde)
hacen falta tres. |
![ruban de Möbius tendu.](../../paradoxe/images/mobius3.gif) |
Si cortamos ahora
esta banda por su línea mediana, no obtenemos dos trozos sino
uno solo, formando cuatro medias vueltas como si a los extremos
de la banda les hubiéramos dado dos vueltas completas antes de
haberlos juntado. Los bordes forman ahora dos curvas distintas,
es decir ya no hay un solo borde ni una sola cara, y por tanto
ya no será una banda de Möbius sino una banda cilíndrica.
Sigue la
mosca... no hay más que una sola banda.
La
botella de Klein es una superficie cerrada con una sola
cara; no admite ni interior ni exterior y no está orientada.
De forma imaginaria, podríamos obtener esta superficie estirando
el cuello de una botella y enlazándolo por el interior con
el fondo, después de haberle hecho atravesar la botella.
La
banda y la botella tienen una íntima relación, que se podría
ver si cortásemos la botella en dos de arriba a abajo, pues
la mitad de una botella de Klein sería una banda de Möbius.
(Dictionario
de las matemáticas de A. Bouvier, M. Georges et F. Le
Lionnais.)
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![Bouteille de Klein.](../../paradoxe/images/klein.gif) |