Le merveilleux arc brisé en tiers-point,
hexagone régulier, étoile d'or et rectangle d'or

La construction

Cette construction m'a été proposée par Patrick Garnier avec une question :
Cette construction est-elle,
- parfaitement rigoureuse ou bien
- juste une trè bonne approximation ?

Patrick Garnier (Provence-Alpes-Côte d'Azur, qui étudie les tracés régulateurs au Moyen-Âge et notamment les plate-tombes médiévales), l'a mise en évidence suite à son étude sur la plate-tombe (*) de Hugues Libergier (cathédrale de Reims XIIIème siècle) et notamment du compas de ce célèbre maître d'œuvre de l'ancienne église Saint-Nicaise à Reims.

Le départ de la recherche de Patrick Garnier fut tout d’abord un petit dessin du carnet de croquis de Villard de Honnecourt qui comportait cette légende écrite en vieux français Picard: "voici comment l’on fait trois manières d’arcs avec la même ouverture de compas".

Ici, il s’agit d’un plein cintre , d’un arc brisé en tiers-point et d’un arc ogival.
Patrick s'interroge :
"On sait que Villard de Honnecourt est passé à Reims ; a-t-il rencontré un Maître ?
Libergier peut-être ? connaissait-il ce compas ?
Il semble par ce dessin qu’il en suggère sa connaissance et son implication géométrique …"


Croquis de Villard de Honnecourt


Animation pas à pas ou automatique de la construction avec un arc brisé en tiers-point

Cette animation traduit avec des moyens modernes une construction utilisée par les bâtisseurs du Moyen-Âge.
Source: Hugues Libergier, architecte rémois (1229 - 1263), bâtisseur de cathédrales.

J 'ai utilisé des arcs de cercle pour repérer les points utiles (donc seulement le compas et la règle).
Les propriétés mathématiques de la construction sont inchangées.

Cette construction permet de tracer un pentagone régulier en passant entre autres par un hexagone régulier, ce n'est pas courant.

 

PLEIN ECRAN


Question

Pouvez-vous répondre à l'interrogation de Patrick Garnier :
cette construction est-elle parfaite ou bien est-ce une très bonne approximation ?
Obtient -on un pentagone régulier parfait à partir de l'arc en tiers-point puis de l'hexagone régulier ?
Justifier la réponse.

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(*) Le terme "plate-tombe" désigne généralement un mobilier plat, servant à signaler la tombe d'un personnage de haut rang dans une église. Support d’un symbolisme profond, il est la marque d’un Moyen-Âge fort et ardent, très strict aussi que l’on retrouvera de façon constante jusqu’au début du XVème siècle. Il est souvent gravé ou sculpté d'une représentation du défunt (debout ou gisant) accompagnée d'une épitaphe mentionnant ses nom et qualité ainsi que la date de son décès.