Le problème proposé par Olivier.Eveilleau

Quel nombre bien utile, se cache derrière l'écriture suivante (qui n'en donne pourtant qu'une valeur approchée) ?

3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/14)))))))))))

- Donner une écriture fractionnaire exacte de ce nombre : le rapport de deux nombres entiers.

- Calculer avec une écriture décimale (nombre à virgule), une valeur approchée du nombre précédent.

- Quel est le nombre mystérieux, si utile aux sages, approché par la valeur précédente ?

- Indiquer le nombre de décimales exactes donné ci-dessus pour ce nombre des sages ?

- Un prix Nobel de littérature consacra un poème à ce nombre.

Qui est-ce ?


SOLUTION

Il s'agit bien entendu du nombre π.

L'écriture proposée ci-dessous dite FRACTION CONTINUE est plus compréhensible.
On parle aussi de fraction à étages.
ATTENTION à bien placer les traits horizontaux : le signe " = " doit être exactement au niveau du 3.




En entrant l'expression précédente dans l'animation qui suit, nous obtenons les réponses aux questions posées.

Le résultat fractionnaire exact de l'écriture proposée est :     OU    encore     

Une valeur approchée du résultat en écriture décimale est : 3,1415926535897927

OR une valeur approchée du nombre π est : 3,1415926535897932

Nous avons donc 14 décimales correctes obtenues en utilisant la fraction proposée dans le texte.


Avec la FRACTION CONTINUE (la fraction à étages ci-dessus)

nous obtenons une succession de fractions donnant des valeurs approchées de plus en plus précises du nombre π.

Pour cela on calcule courageusement, petit à petit la fraction à étages ci-dessus.

Ainsi 3 + 1/7 = 22/7 est une approximation bien connue à l'école et au collège (hum.. ;.).

Plus on pousse le calcul et meilleur est le résultat :
3+1/(7+1/15 ) = 333 /106 est encore plus précis et ainsi de suite.



ANIMATION

Ci-dessous, entrer une expression correctement parenthésée ou un calcul à effectuer en utilisant une bonne syntaxe (Cf  SYNTAXE).

La suite des réduites de la fraction continue correspondant à l'entrée demandée sera calculée ainsi que les fractions correspondantes.

CLIQUER

Le poème de Wislawa Szymborska ADMIRABLE NOMBRE PI Trois virgule un quatre un. Chaque décimale est à la fois la suivante et la première cinq neuf deux, puisqu'il est un chiffre sans fin. Trop vaste six cinq trois cinq pour le saisir d'un seul regard huit neuf, d'un simple calcul sept neuf, avec l'imagination trois deux trois huit, ou d'un jeu de mots Trop vaste pour le comparer quatre six à quoiqu'il soit dans le monde. Le plus long serpent terrestre cesse d'exister au bout de quarante mètres. De même, mais légèrement plus loin, les serpents de légendes. Pi, avec son cortège de décimales ne s'arrête pas à la bordure de la page, il continue sur la table, traverse l'air le mur, la feuille, le nid d'oiseau, les nuages, le ciel jusqu'à un paradis flou et sans fond. A côté de lui, la queue d'une comète n'est qu'une queue de souris Même un rayon d'étoile plie sous le poids de l'espace. Mais lui, deux, trois, quinze, trois cent dix-neuf, mon numéro de téléphone, votre encolure, l'année mil neuf cent soixante treize, sixième étage, soixante cinq centimes, nombre d'habitants, tour de taille, deux doigts, une charade, un code, chant du rossignol, promesses d'amour pour toujours... Inutile de vous presser avec lui, vous n'y arriverez pas au bout. La terre et le paradis, eux-mêmes, sont temporels mais pas notre Pi : avec son cinq toujours parfaitement droit son huit remarquablement beau et son sept qui ne sera jamais le dernier à pousser du coude cette flemmarde d'éternité pour l'obliger à continuer. Wislawa Szymborska - poétesse polonaise et prix Nobel de littérature

 

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