Trouver
les failles dans les démonstrations suivantes.
Démo n°1 : supposons que a = b + c,
avec a, b, c nombres strictement positifs.
a est strictement plus grand que b, donc a différent de b.
Multiplions les deux membres par a - b.
On a : a² - ab = ab + ac - b² - bc
retranchons ac des deux membres : a² - ab - ac=
ab - b² - bc
Mettons en facteur : a (a - b - c) = b ( a - b - c)
Simplifions par a - b - c
Nous obtenons : a = b.
a est différent de b et il lui est égal !
Démo n°2 : prenons c = (a + b) / 2
moyenne arithmétique de a et b.
alors a + b = 2 c, multiplions les deux membres par a -
b :
a² - b² = 2 ac - 2 bc
ajoutons b² - 2ac + c², de chaque côté
:
a² - 2ac + c² = b² - 2 bc + c²
alors avec les carrés parfaits : (a - c)² = (b - c)²
donc a - c = b - c
et encore une fois a = b.
SOLUTIONS
1°) l'erreur est dans la simplification par a - b - c qui est nul.
N'oublions pas la loi "Tu ne diviseras pas par zéro !"
2°) l'erreur est dans le passage à l'écriture a - c
= b - c.
Il faut prendre en compte les signes dans l'extraction d'une racine
carrée, et ici a - c et b - c sont forcément de signe
contraire.
On devrait écrire : a - c = c - b.
Dans le même genre trouver l'erreur dans le raisonnement ci-dessous
qui montrerait que : 2=3
4-10=9-15
2²-2(2(5/2))=3²-2(3(5/2))
2²-2(2(5/2)+(5/2)²=3²-2(3(5/2))+(5/2)²
(2-5/2)²=(3-5/2)²
2-5/2=3-5/2
2=3
