Le jeu de DORNIM Le jeu de Dornim Le jeu de Wythoff est une variante du jeu de Nim, inventée en 1907 par le mathématicien hollandais Willem Abraham Wythoff. Il s'agit d'un jeu impartial à deux joueurs, qui est historiquement le deuxième jeu mathématique, après le jeu de Nim, à avoir été résolu de façon exacte. Règle du jeu La variante présentée ici, consiste à déplacer un jeton à tour de rôle sur un damier, soit en se déplaçant vers la gauche, soit en se déplaçant vers le bas, soit en se déplaçant le long d'une diagonale vers la gauche et le bas. Le joueur atteignant la case inférieure gauche ayant gagné. QUESTION Repérer - les cases GAGNANTES à viser et - les cases PERDANTES qui font gagner l'adversaire. ANIMATION On peut CHOISIR la position de départ en faisant glisser le pion rose sur la case désirée. Votre adversaire est l'ordinateur et vous jouez à tour de rôle. On déplace le pion rose de départ selon la règle précédente : - soit horizontalement vers la gauche ; - soit verticalement vers le bas ; - soit en diagonale vers la gauche et le bas. Le premier arrivé en bas à gauche sur le pion noir a gagné. ==> -Choisir d'emblée celui qui joue le premier. -Ensuite jouer à tour de rôle. Pour jouer : - CHOISIR en la CLIQUANT la case d'arrivée du pion : une croix s'affiche si elle est valide. - DOUBLE-CLIQUER cette case pour lancer le déplacement du pion. Le curseur en bas de l'animation permet de modifier la vitesse de déplacement du pion. /!\ ATTENTION l'ordinateur utilise une stratégie efficace et s'il joue en premier. BON JEU !   CLIQUER ANALYSE Ce jeu peut être présenté sous une autre forme qui justifie le nom de DORNIM ou jeu de Nim avec des tas d'or. "On dispose de deux tas soit d'allumettes, de pions ou d'or... Deux joueurs s'affrontent. A tour de rôle, chaque joueur prend un certain nombre d'éléments : - soit dans un tas ; - soit dans l'autre ; - soit dans les deux tas MAIS dans ce cas, il doit en piocher le même nombre. Est GAGNANT le joueur qui prend le dernier objet." On peut faire correspondre aux deux tas de x et y objets , un couple (x, y) sur une grille de cases carrées. On obtient ainsi le plateau du jeu de DORNIM où (x, y) est la position du pion à déplacer. => Les déplacements horizontaux ou verticaux, correspondent à la pioche dans un seul des deux tas ; Les déplacements diagonaux correspondent à une pioche identique dans chaque tas. Cette dernière version du jeu est connue sous le nom de jeu de Wythoff. Un joueur va donc gagner s'il ne commet aucune erreur et s'il ne démarre pas sur certaines cases que nous allons définir : les cases coloriées en rouge ci-dessous. Nous allons chercher les positions dites GAGNANTES. Remarque Une position est dite GAGNANTE pour le jouer n°1, si quoi que fasse le JOUEUR n°2, alors le JOUEUR n°1 sera certain d'être le premier dans la case d'arrivée (0,0). Une analyse à 'reculons' en partant de la fin donc de la case d'arrivée (0,0), permet de déterminer les cases PERDANTES et les CASES GAGNANTES de proche en proche. Exemple de positions gagnantes colorées en rouge sur la grille suivante. Toutes les positions non colorées sont perdantes. Il est toujours possible d'amener un pion qui est sur une case perdante vers une position gagnante. Le but est donc d'amener son pion sur les positions GAGNANTES dès que cela est possible. Sinon, jouer discrètement au hasard en espérant que l'adversaire commettra une erreur. BIEN observer le jeu de l'ordinateur qui ici joue les positions gagnantes dès que possible. S'il ne peut pas gagner lorsqu'il joue le premier et démarre usr une case rouge, alors il joue au hasard. On trouvera une analyse de ce jeu chez Mathafou : http://mathafou.free.fr/jeux/sol302.html