Un 1 malin   Le 1 malin prétendait qu'il égalait tout nombre entier plus grand que 5, aussi grand fût-il ! Et voici comment il le démontrait, on sait tous que : 1 + 2 + 3 + ... + n =        (F1) En ajoutant les entiers jusqu'à (n-1) au lieu de n, on obtient en remplaçant n par (n-1) dans la formule : 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) =        (F2) En ajoutant 1 dans chaque membre de (F2), on obtient : 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = + 1 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1 + 1) = + 1 1 + 2 + 3 + ... + n = + 1 En utilisant le résultat de (F1), on obtient : = + 1 Soit n(n+1) = (n-1)n + 2 n2 + n = n2 - n + 2 n + n = 2 2 n = 2 n = 1 Et 1 semble avoir raison . 1 égale presque tous les entiers ! Bien sûr c'est faux ! Mais où donc est l'erreur ? Tout semble bien correct !   Solution                                                      Explication  Pas de panique ! Il y a effectivement escroquerie : il faut se méfier des points de suspension du 1 malin. Ici, ils signifient que l'on écrit tous les entiers compris entre 3 et ... (ce pourrait d'ailleurs entre 1 et ... ). Ici nous supposons que n est plus grand 3... , la démonstration pourrait être refaite à partir de n=5. Ainsi nous n'avons pas d'égalité entre 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1               ET 1 + 2 + 3 + ... n Oui bien sûr, l'addition est associative, mais écrivons les derniers termes avec l'interprétation faite ci-dessus des points de suspension : 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) +(n - 1) + 1              ET 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1 + 1) = 1 + 2 + 3 + ... + n                                            = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) +(n - 1) + n Les derniers termes des expressions ci-dessus ne sont pas identiques et l'on voit comment en les égalisant, on a pu obtenir l'égalité fausse de 1 et de n.   L'erreur est dévoilée !