LE
PROBLEME
Il s'agit d'un problème provenant de Diophante
et de la revue La Jaune et la Rouge d'octobre et novembre 2015.
Quelle peut être la limite pour n infini de la suite
Xn définie par
X0 = 11/2,
X1 = 61/11,
Xn+1 = 111 - 1130/ Xn + 3000 / (Xn
* Xn-1) ?
SOLUTION
Calculons et
observons :
La première idée est de lancer un petit calculateur
et d'observer les résultats obtenus :
X0 = 11/2
X1 = 61/11
X2
~ 5.590163934426229...
X3
~ 5.633431085043981...
X4
~ 5.674648620510027...
X5
~ 5.7133290523783415
X6
~ 5.749120919664605...
X7
~ 5.781810919824309...
...
X12 ~ 5.898177025615013...
X13 ~ 5.897965247556456...
.
X16 négatif
X17 >
100
X19 ~ 100.02351860606016
.
X21 ~ 100.00008385279583
X22 ~ 100.00000501313878
.
X25 ~ 100.00000000107462 ET
à partir de X30 nous trouvons toujours
100.
De là à
penser que la limite est 100 il n'y a qu'un petit pas qu'il ne faut
surtout pas franchir.
La limite n'est pas 100 !
Voici les calculs
obtenus sur machine : ils sont exacts pendant un certain temps puis
catastrophe !
Notons que les résultats fractionnaires sont valables plus
longtemps que les calculs avec notations décimales encore plus
approximatifs.
A partir de n=15, les résultats divergent...
Le calcul fractionnaire est encore correct mais ce n'est
plus le cas du calcul décimal sur machine.
Le résultat approximé
en décimal, du deuxième calcul est obtenu à partir
du quotient du numérateur par le dénominateur, ces deux
entiers sont calculés exactement sans aucune approximation.
Malgré tout quand ces entiers deviennent très grands
(pour le calculateur utilisé), ils sont notés en écriture
exponentielle.
CEPENDANT le résultat mémorisé en machine est
correct et l'approximation décimale du dernier rapport
est correcte et tend bien vers la valeur 6.
CLIQUER
Que se passe-t-il ?
Une
machine aussi performante soit-elle, ne peut mémoriser qu'un
nombre fini (même s'il peut être grand) de décimales.
Elle travaille donc avec des valeurs approchées qui ici, dans
le premier calcul automatique avec valeurs décimales, provoquent
des erreurs qui se cumulent d'étape en étape. Les résultats
au bout d'un certain temps deviennent aléatoires.
C'est le cas ici à partir du terme X15.
Ce
genre d'erreur, se produit quelle que soit la performance et quelles
que soient les capacités du calculateur utilisé.
Inutile de changer de machine, cela ne fera que déplacer le
problème.
Nous DEVONS raisonner rigoureusement avant de lancer un calcul mécanique.
RAISONNONS
et calculons rigoureusement
Xn+1
= 111 - 1130/ Xn + 3000 / (Xn
* Xn-1)
La relation précédente, implique avec une petite
transformation, la relation de récurrence suivante :
Xn+1 * Xn - 11 Xn
+ 30 = 100 /Xn-1 * (Xn * Xn-1
- 11 Xn-1 + 30 )
En
poursuivant cette relation avec les valeurs décroissantes
de n, nous obtenons :
Xn+1 * Xn - 11 Xn
+ 30 = 100 /Xn-1 * 100 /Xn-2
* (Xn-1
* Xn-2 - 11 Xn-2 + 30
)
Xn+1 * Xn - 11 Xn
+ 30 = 100 /Xn-1 * 100 /Xn-2
*... * 100 /X0 *
(X1 *
X0 - 11 X0 + 30 )
OR
(X1
* X0 - 11 X0 + 30 )
= 0
Nous déduisons :
Xn+1 * Xn - 11 Xn
+ 30 = 0
(*)
ET si Xn
a pour limite L,
nous devons avoir :
L² - 11 L + 30 = 0
OR cette expression a deux seules racines qui sont 5
et 6
et 100 n'est pas solution de (*).
DONC 100 ne peut pas être la limite de cette
suite.
CHERCHONS
la bonne limite entre 5 OU 6
Avec
la relation (*)
nous
avons :
Xn+1
= 11 - 30/ Xn .
Calculons le rapport (6-Xn+1)
par
(Xn+1-5)
:
(6-Xn+1)
/
(Xn+1-5)
= ( 6 - 11 + 30/Xn
) / ( 11 - 30/Xn - 5 )
(6-xn+1)
/
(Xn+1-5)
= ( -5Xn + 30) / (
6Xn
- 30)
(6-Xn+1)
/
(Xn+1-5)
= (5/6) * ( 6 - Xn
) / ( Xn - 5) = (10/12)
* ( 6 - Xn ) / ( Xn
- 5)
(6-Xn+1)
/
(Xn+1-5)
= (1/1.2) * ( 6 - Xn
) / ( Xn - 5)
=
(1/1.2²) * ( 6 - Xn-1
) / ( Xn-1 - 5)
.
=
(1/1.2n+1) * ( 6 - X0
) / ( X0 - 5) =
(1/1.2n+1) * ( 6 - 11/2 ) / ( 11/2 - 5) =
(1/1.2n+1) * 1
FINALEMENT
(6-Xn+1)
/ (Xn+1-5)
= 1/(1.2 n+1)
Quand n tend vers l'infini
cette dernière expression tend vers 0.
Le numérateur de la fraction doit tendre vers 0
Et la suite Xn
tend
vers la limite 6.
Pour
ceux qui sont motivés... CHERCHONS
l'expression exacte de Xn
Reprenons
la relation (*)
:
Xn+1*Xn
- 11 Xn + 30 = 0
qui peut s'écrire :
Xn+1*Xn
- 5 Xn = (6/Xn-1)
* (Xn*Xn-1
- 5 Xn-1) (**)
Posons
: Xn
= Yn+1/Yn
avec
X0 = 11/2, X1
= 61/11 donc
Y0 = 2, Y1 =
11, Y2= 61
Les
calculs fractionnaires de l'animation précédente
sont effectués en respectant cette écriture.
En itérant sur n, la relation
(**),
nous avons :
Xn+1*Xn
- 5 Xn = (6/(Xn-1)(6/(Xn-2)
* (Xn-1*Xn-2
- 5*Xn-2)
.
Xn+1*Xn
- 5 Xn = (6/(Xn-1)(6/(Xn-2)
...(6/(X1)(6/(X0)
* (X1*X0
- 5*X0)
qui
s'écrit :
Xn+1*Xn
- 5 Xn = 6n / (Yn/
Y0) * (X1*X0
- 5*X0) soit
avec Xn
= Yn+1/Yn
:
(Yn+2*
/ Yn+1 ) * (Yn+1/
Yn) - 5 (Yn+1
* / Yn) = 6n
/ (Yn/
Y0)
(61/2 - 55/2)
OU
(Yn+2*
/ Yn+1 ) * (Yn+1/
Yn) - 5 (Yn+1
* / Yn) = (2*6n
/Yn ) * (3)
OU
Yn+2
/ Yn - 5 Yn+1 *
/ Yn = 6n+1 / Yn
ET finalement :
Yn+2
- 5 Yn+1
= 6n+1
OU
Yn+2
= 6n+1 + 5 Yn+1
5*Yn+1 = 5*6n + 5²
Yn
.
5n+1*Y1 = 5n+1*60
+ 5n+2Y0
-------------------------------
Yn+2 = 6n+1 +
5*6n +... 5n+1*60
+ 5n+2 *
2
On
a au début de cette expression la somme d'une progression
géométrique de raison
6/5
et de premier terme
5n+1*60
Et nous obtenons :
Yn+2
= 5n+1 * ((6/5)n+2
- 1 ) / (6/5 - 1 )
+
5n+2 * 2
Après
simplification nous trouvons :
Yn+2
= 6n+2
+ 5n+2
SOIT
Yn
= 6n +
5n
ENFIN
le résultat rigoureux :
Xn
=
(6n+1 +
5n+1) /
(6n
+ 5n)
Quand n tend vers l'infini, nous retrouvons bien la limite 6
=
6n+1/ 6n
|
CONCLUSION
Se méfier des résultats approximatifs des calculatrices
tout spécialement lorsque les calculs se répètent
: les erreurs sont cumulées.
Il faut user avec modération des calculatrices.
