Le cercle de rayon R a pour périmètre 2 Pi R... Le demi-cercle a pour périmètre Pi R... Prenons le rayon R = 1. Alors le demi-cercle mesure Pi donc environ 3.14...

 

 

                   

 

 

 

 

 

 

 

Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5.

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5 qui ont même périmètre que les 4 demi-cercles bleus de rayon 0,25.

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5 qui ont même périmètre que les 4 demi-cercles bleus de rayon 0,25 qui ont même périmètre que les 8 demi-cercles bruns de rayon 0,125.

   

              

 

 

 

 

 

 

Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5 qui ont même périmètre que les 4 demi-cercles bleus de rayon 0,25 qui ont même périmètre que les 8 demi-cercles bruns de rayon 0,125 qui ont même périmètre que les 16 petits demi-cercles roses de rayon 0,0625.

Et comme cela indéfiniment, ALORS... le demi-cercle devient son diamètre
Et    Pi = 2    ?

 

SOLUTION  
                                    

 Explication

Quand on poursuit indéfiniment les constructions proposées, les longueurs des demi-cercles ont effectivement toutes la même longueur et à la fin, ces demi-cercles vont tendre à se confondre avec le diamètre initial.
Pourtant sous les apparences d'une logique inattaquable, il y a une faille dans le raisonnement. Pi est évidemment différent de 2.
La conclusion annoncée ci-dessus est basée sur une fausse interprétation de la "limite" dont la définition précise est la suivante: Une grandeur variable L a pour limite une grandeur fixe A
lorsque la différence entre L et A peut devenir et rester moindre que
toute quantité donnée à l'avance, aussi petite qu'elle soit.(1)

Les grandeurs L et A sont ici respectivement le périmètre des demi-cercles et la longueur du diamètre. Mais L est constant et non variable, et la différence entre L et A est également constante.
On ne se trouve donc pas du tout dans les conditions de la définition précédente, et il n'est alors pas surprenant que nous soyons arrivés à un RESULTAT ABSURDE. 

(1) Emile Fourrey Curiosités géométriques Paris 1907 librairie Vuibert