Explication
: la transformation du Photomaton
est une permutation de pixels.
La transformation opérée garde tous les pixels de
l'image. Ils ont seulement été déplacés
: il s'agit d'une permutation des pixels.
Comme nous partons d'un ensemble fini de pixels : 256 x 256,
nous savons mathématiquement qu'au bout d'un nombre fini
d'opérations nous réalisons la transformation IDENTITE
qui nous ramène à l'image initiale. Chaque pixel retrouve
sa place originale.
Dans une image 256x256 chaque pixel retrouve sa place exacte.
Explicitons
le procédé sur une une ligne de huit pixels numérotés
de 0 à 7 :
0 1 2
3 4
5 6 7
Plaçons tous les nombres de rang
pair en tête puis les autres dans l'ordre.
Cela donne :
0
2 4 6
1
3 5 7
puis :
0
4 1 5
2 6
3 7
puis :
0 1 2
3 4
5 6 7
En trois opérations, chaque pixel
a réintégré sa position de départ.
0 1 2
3 4
5 6 7
On utilise le même procédé sur les colonnes.
Pour une image de 8 sur 8 pixels, il faut 3 transformations pour
retrouver l'image intiale.
Pour 16 x 16 pixels, il en faudra 4 ;
Pour 32 x 32 pixels, il en faudra 5 ;
Pour 64 x 32 pixels, il en faudra 6 ;
Pour 128 x 128 pixels, il en faudra 7 ;
Pour 256 x 256 pixels, il en faudra 8. C'est le cas des images proposées.
Pour 512 x 512 pixels, il faudra 9 permutations.
Nous
voyons dans la première transformation que
-la première image contient les pixels
0 2 4 6 et
-la deuxième contient les pixels 1 3 5 7.
Ces pixels ont des couleurs très voisines mais ne sont pas
identiques.
La théorie sous-jacente est celle des permutations d'un
groupe fini :
quand on effectue des transformations précises sur les éléments
d'un ensemble fini, on revient toujours au point de départ.
