Publicités trompeuses, élections surprises...
Faut-il se fier aux statistiques ? Les pourcentages sont-ils de bons indicateurs ? 

 

La boule rouge

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Les filles et les garçons

A Eratoville 240 candidats des collèges Castor et Pollux passent une épreuve de mathématiques. Il y a autant de filles que de garçons. Les deux collèges présentent autant de candidats l'un que l'autre. Dans chacun des deux collèges les garçons ont un pourcentage de réussite qui excède de 20% celui des filles. Pourtant le rectorat affirme que le succès général à l'épreuve a été de 20 % meilleur chez les filles.

Pas d'accord s'écrient les garçons, nous avons eu dans les deux collèges des pourcentages de réussite meilleurs de 20% sur les filles ! Pourtant ils ont tort, les filles sont bien les meilleures. Pourquoi ?

 

Explication

L'un des deux lycées a de meilleurs résultats et les filles y sont plus nombreuses !
Voici les nombres d'élèves dans chacun des collèges :

Collège Castor			Collège Pollux
	Filles	Garçons	Filles	Garçons
Collés	30	2	18	70
Admis	70	18	2	30
TOTAL	100	20	20	100

Collège Castor : pourcentage de réussite des garçons 18 sur 20 soit 90%. pourcentage de réussite des filles 70 sur 100 soit 70 %. Collège Pollux : pourcentage de réussite des garçons 30 sur 100 soit 30 %. pourcentage de réussite des filles 2 sur 20 soit 10 %.

Les deux Collèges réunis : pourcentage de réussite des filles : 72 sur 120 soit 60 % pourcentage de réussite des garçons : 48 sur 120 soit 40 %

 

Finalement, on peut dire tout à la fois :
"dans chacun des deux collèges les garçons ont réussi avec 20% de mieux que les filles"
                                                      ou
"globalement les filles ont réussi avec 20% de mieux que les garçons."

Publicités 

Le consommateur peut interpréter de façon erronée une publicité :

+25% de produit "donc 25% moins cher !" interprète souvent le consommateur . C'est inexact . En effet pour le même prix, nous avons maintenant 25% de produit en plus, la quantité est donc multipliée par 1.25. Par exemple pour 100 euros nous avons maintenant 1.25 fois plus de produit. Et chaque unité coûte donc (100/1.25 =) 80 euros au lieu de 100 euros. Pour 100 euros nous économisons 20 euros. Nous payons donc 20% moins cher. Notre interprétation n'est pas dans notre intérêt.

25% moins cher ! "donc 25% de produit en plus !" interprète souvent le consommateur . C'est faux, il en a plus ! Supposons que pour 100 euros nous avions d'abord 1 unité de produit. Maintenant le prix est multiplié par 0,75. Pour 100 euros nous aurons donc (1/0.75) unité deproduit soit à peu près 1.33 unité de produit soit 33% de produit en plus. Cette fois la publicité ne met pas le gain en valeur.

 

Histoire vraie

Le vendeur propose à son client une voiture ayant servi pour les démonstrations. 1-Il lui propose donc une réduction de 20% sur le prix HT. La TVA est de 18.6% 2-Voyant ce dernier hésiter il décide de lui faire une fleur et propose alors la réduction de 20% sur le prix TTC au lieu de la faire sur le prix HT.

Très heureux le client décide immédiatement d'acheter la voiture.
Quel rabais a-t-il obtenu ?

Solution :
Il n'a absolument rien obtenu !
En effet supposons que le prix initial Hors Taxe soit Peuros.
Après l'application de la TVA le prix est multiplié par 1.186,
après la réduction le prix est multilplié par 0.80
Dans le cas 1- le prix est P x 1.186 x 0.80
Dans le cas 2- le prix est P x 0.80 x 1.186
Finalement le prix est identique. L'acheteur s'est fait duper.

Elections ou le paradoxe du vote ⁽¹⁾ 

Les élections ne sont pas mathématiques !

Prenons le cas où trois candidats A, B et C se présentent. Supposons que deux tiers des votants préfèrent A à B; que deux tiers des votants préfèrent B à C. Alors le candidat A n'a pas systématiquement plus de chance que les autres.
La relation n'est pas transitive : on peut avoir deux tiers des votants qui préfèrent C à A.
Les élections ne sont pas logiques et peuvent donner des résultats surprenants.

Minorité gagnante

Kenneth Arrow prix Nobel d'économie a démontré que : les préférences de la majorité des électeurs peuvent être subverties par des élections opposant plus de deux candidats.
Le marquis de Condorcet avait présenté ce problème qui s'est longtemps appelé "paradoxe de Condorcet". Arrow partant de cette base l'a généralisé en démontrant qu 'il ne pouvait y avoir de procédure de choix collectif respectant des hypothèses qualifiées de démocratiques ( absence de dictateur , règle majoritaire etc ).

Prenons l'exemple suivant qui montre comment une minorité peut gagner .
Nous noterons A>B>C : 17 pour indiquer que les électeurs préférant A à B et B à C sont au nombre de 17%. 

Dans cet exemple nous voyons que le candidat A majoritaire relativement sur une élection à 3 candidats, ne passera pas lors d'un deuxième tour affrontant deux candidats.

Gagne qui veut

Dans ⁽¹⁾ on peut voir qu'il est possible dans certains cas de s'arranger pour faire gagner chacun des candidats dans une élection n'opposant que deux personnes à chaque fois.

Voici l'exemple proposé :

Et voici comment procéder, en 3 tours pour avoir :

Et... puis il y a la crédibilité des sondages...
Une fois les échantillons bien choisis par les organismes adéquats il faut encore faire confiance aux sondés...
De nombreux sondés consciemment ou non ne disent pas la vérité. Connaissant certains résultats les statiticiens ont inventé quelques techniques appropriées pour identifier et éliminer les déformations dues au mensonge.
Les mathématiques peuvent venir au secours des enquêteurs pour obtenir des réponses aux questions délicates et obtenir la vérité.

 

 

Les sondages...

Comment les mathématiques déjouent le mensonge.
Il est des questions qui sont assez indiscrètes et embarrassantes et certaines personnes déforment leurs réponses. Ainsi si l'on demande à quelqu'un s'il lui arrive de commettre de petits délits il est difficile d'obtenir une réponse positive sachant que c'est puni par la loi.
Aussi les sondeurs peuvent-ils utiliser un procédé astucieux et mathématique qui demande seulement d'augmenter la taille de l'échantillonnage.
Dans l'exemple, la taille de l'échantillon est multipliée par 3.

L'enquêteur dispose d'un sac contenant trois cartes qui seront tirées au sort. Sur chacune des cartes une question est écrite.
       1- Sur la première carte Alpha est écrite la question qui intéresse le sondeur.
       2- Sur une deuxième carte Béta est dessiné un disque noir et la question est : y-a-t-il un disque noir sur la carte ?
       3- Sur la troisième carte Gamma rien n'est dessiné, il y a juste la question : y-a-t-il un disque noir sur la carte ?
L'enquêteur ignore bien entendu quelle carte est tirée. La personne interrogée sait cela. Elle peut donc répondre honnêtement et sans aucun risque donner sa réponse car elle est la seule à connaître la question à laquelle elle répond.

 

Comment interpréter les réponses ?

Imaginons que l'enquêteur questionne 1500 personnes. Supposons en outre que nous ayons à la fin du sondage 792 réponses affirmatives. En moyenne le tirage au sort fait que 500 personnes ont tiré la première carte, 500 la deuxième et 500 la troisième. Sur les 792 réponses affirmatives 500 proviennent de la deuxième carte et il reste donc 292 réponses positives venant de la première carte Alpha.
Finalement on peut raisonnablement estimer que 292 personnes sur 500 ont répondu positivement à la question désirée.

Bien entendu la taille et le choix des échantillonnages sont fondamentaux pour obtenir de bonnes statistiques.

Conclusion...

 Il vaut mieux savoir précisément de quoi on parle.
Ainsi on peut dire que dans chacun des collèges Castor et Pollux respectivement les garçons sont meilleurs que les filles. Cependant globalement les filles sont meilleures que les garçons.
En politique comme en publicité, on peut facilement faire dire ce que l'on veut aux pourcentages.
Tout dépend de la façon dont on les présente.

 

(1) : DENNIS SHASHA les aventures extraordinaires du Dr Ecco editions Emile Jacob
ROB EASTAWAY JEREMY WYNDHAM pourquoi les bus arrivent-ils toujours par trois ? editions Flammarion