A l'instar de Dédé le petit cochon

Avoir une chance de gagner...

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LE PROBLÈME G1914 de Diophante.fr

Zig fait comme Dédé le petit cochon de la Française des Jeux qui joue au jeu de l’oie en grattant des dés.
Au prix de 8 €, il achète un ticket sur lequel figurent 12 dés à gratter et il gratte autant de dés qu’il le souhaite, chaque dé faisant apparaître l’un quelconque des numéros de 1 à 6 avec la même probabilité.
Si le numéro 1 n’apparaît pas, Zig récupère en euros la somme des numéros grattés.
A l’inverse, il a perdu.

Existe-t-il un nombre de cases à gratter qui lui permet d’optimiser son espérance de gain (ou de réduire son espérance de perte) ?



ANIMATION

-On peut JOUER et observer calmement...
  Le bouton STOPPER arrête le jeu et établit score et moyenne sur l'ensemble des jeux.

-On peut faire une SIMULATION rapide ou évolutive selon le nombre jeux.
  La stratégie repose sur le nombre de cases à clliquer, au-delà duquel on arrête de jouer avec le bouton STOPPER.

  -Entrer au clavier ou avec les flèches les valeurs pour le nombre de jeux (expériences).
  /!\ ATTENTION si les données sont entrées au clavier, VALIDER ensuite avec la touche ENTREE.
  
  Le mode Ultra RAPIDE donne immédiatement le résultat de la simulation.
  Le bouton RAZ permet de recommencer le jeu individuel en remettant le nombre de jeux à 0.
  Le curseur vitesse permet de modifier la vitesse d'exécution.

  CLIQUER

 

ANALYSE et meilleure stratégie

Pour ne pas être perdant, il faut gagner au moins 8€ afin de récupérer sa mise.

Avec un seul dé l'espérance est :
E1 = 1/6 * (2 +3 +4 +5 +6) ~ 3.3333...

Avec deux dés, espérance E2.
Pour chaque dé, on a 5 chances sur 6 de ne pas jouer le 1, et 1 chance sur 6 de jouer chaque valeur de 2 à 6.

E2 =5/6*1/6(20+20)
E2 =5/36 *40
E2 =5/6² *40 ~ 5.555555...

Avec trois dés
E3 = 5²/6³ * 3 * 20 ~ 6.9444444444...

Avec k dés
Ek = 5^k-1 / 6^k * 3 *20

E1 ~ 3.33
E2 ~ 5.55
E3 ~ 6.94.
E4 ~ 7.71605
E5 ~ 8.03755
E6 ~ 8.03755
E7 ~ 7.81429
E8 ~ 7.44217
E9 ~ 6.97704
E10 ~ 6.46022
E11 ~ 5.92187
E12 ~ 5.38352

Seuls les lancers de cinq ou six dés donnent une chance de gagner un petit peu plus de 8€.
Pour optimiser son espérance de gain, il faut donc jouer 5 dés ou bien 6 dés qui donnent exactement la même espérance.

L'étude de la courbe f(x) = 5^(x-1)/6^x * 3 *20 donne un maximum pour k = 1/(log?(6/5)) ˜ 5.484814947747078

Donc 5 a un tout petit plus de chances que 6.

On doit bien constater qu’alors le gain n’est pas fabuleux et donne guère mieux que la récupération de la mise.

Voir aussi :
www.diophante.fr

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