A la
recherche des extrêmes
LE PROBLÈME
H164
de Diophante.fr
Diophante donne à Zig le nombre entier z > 4 et à
Puce le nombre entier p > 4 puis il demande à chacun d’eux
de tracer
sur le recto puis sur le verso d’une feuille de papier respectivement
z et p points de sorte que trois points quelconques ne sont jamais
sur la même droite.
Sur le recto, chacun trace le maximum possible de quadrilatères
convexes et sur le verso le plus petit nombre possible de quadrilatères
convexes.
Q1 Zig constate qu’il
a tracé au total 45 quadrilatères de plus que Puce.
Déterminez z et p en justifiant vos réponses.
Donnez des exemples de configurations obtenues par les deux comparses.
Q2 Cher lecteur, avec un point
de plus que Zig, déterminez le plus petit nombre possible de
quadrilatères convexes que vous pouvez tracer.
ANIMATION
Cette animation permet d'observer la variation des nombres de quadrilatères
convexes selon la configuration des points.
Les discrets triangles et cercle du fond sont là pour
faciliter le positionnement des points.
Le non alignement de trois points n'est pas vérifié.
/!\ Le lecteur
y veillera.
CHOISIR
- Le nombre de points à
tracer avec le bouton adéquat.
- Mode MANUEL pour tracer les
quadrilatères convexes un à un en cliquant le bouton
fléché.
- Mode AUTO étudie la figure
et donne le nombre de quadrilatères convexes avec les points
donnés.
- CLIQUER le bouton GO pour lancer
l'animation.
- Le nombre de points, de quadrilatères
possibles et de quadrilatères CONVEXES est affiché.
Le numéro du quadrilatère tracé est indiqué.
Le bouton RAZ permet de tout réinitialiser.
La VITESSE d'exécution est réglable en mode SIMULATION.
CLIQUER
ANALYSE
Les maximums sont obtenus lorsque les points sont cocycliques.
Pour
un nombre de points inférieur à 12, le nombre minimal
de quadrilatères convexes est obtenu en choisissant l'option
'triangles'.
Dans ce cas, les points sont placés aux sommets des triangles
équilatéraux discrètement tracés sur le
fond de l'animation.
Essayer
de déplacer ces points pour obtenir d'autres dispositions donnant
un minimum de quadrilatères convexes.
Le nombre minimal de triangles est ensuite obtenu avec la suite :
http://oeis.org/A014540
0, 0, 0, 0, 1,
3, 9, 19, 36, 62, 102, 153, 229, 324, 447, 603, 798, 1029, 1318,
1657, 2055, 2528, 3077, 3699, 4430, 5250, 6180
Une explication
complète se trouve ici dans le document pdf :
H164.pdf
Et
plusieurs solutions sont proposées chez
Diophante.
