Une roue vertigineuse

 

Le problème

Une grande roue tourne dans un sens, une deuxième plus petite, dont le centre est fixé sur la circonférence de la plus grande roue, tourne plus rapidement dans le même sens.
Enfin une troisième roue, dont le centre est fixé sur le pourtour de la deuxième, tourne en sens inverse.
On fixe une nacelle sur le tour de la troisième roue.
Vertigineux ! Il s'agit là de la roue de Ferris.
Quelle est la trajectoire de la roue ?

Dans l'exemple proposé, le rayon de la grande roue est 1 ; celui de la deuxième 1/2 et celui de la troisième 1/3.
La deuxième roue tourne en apparence 7 fois plus vite que la grande dans le même sens.
La troisième tourne 17 fois plus vite que la première en sens inverse.

Curieusement, le chemin parcouru par la nacelle présente une belle symétrie d'ordre 6. Inattendu, non ?

Question

Quel est le chemin parcouru par le passager de la nacelle ?
Quelles courbes obtiendrons-nous avec d'autres vitesses et d'autres sens de rotation ?


Comment obtenir des courbes présentant de belles symétries ?


L'animation ci-dessous permet d'analyser la situation.
On peut changer les paramètres dès lors que les roues sont au repos.


 ANIMATION

   . Ne pas hésiter à modifier les différentes valeurs des paramètres.
   . Les vitesses de ROTATION sont entrées au clavier : chaque case prend la couleur de la roue concernée.
      -> Grande roue entre -5 et +5
      -> Autres roues entre -30 et +30
   . La phase indique le décalage de la nacelle par rapport à l'horizontale dans le sens horaire.
   . Les autres boutons sont explicites, les cocher ou décocher : le fait de 'cacher' les roues permet d'isoler le parcours de la nacelle.
   . Pour voir la trajectoire de la nacelle, cocher le bouton Trace du parcours.
   . Pour le plaisir, varier les couleurs en utilisant les boutons carrés colorés.
   . La vitesse de rotation est également modulable avec le curseur horizontal de vitesse.

Bon voyage dans l'espace... !