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Les
deux polyèdres
L'heptaèdre
de Szilassi, créé en 1977 par
le mathématicien hongrois Lajos Szilassi (1942-),
est un polyèdre comportant un
trou, 7 faces hexagonales,
14 sommets de degré 3 et 21 arêtes.
Ses sept faces hexagonales sont deux à deux adjacentes.
Ce polyèdre a un tunnel, il est dit
torique, c'est-à-dire que sa surface est homéomorphe au
tore.
En effet chaque face a une arête commune avec les 6 autres.
Le polyèdre de Csaszar, découvert
en 1949 par le mathématicien hongrois Csaszar (1924- ), est un
dual du polyèdre
de Szilassi.
Il a 14 faces triangulaires, 7 sommets
de degré 6, 21 arêtes et un trou.
Toutes ses faces ont le même nombre d'arêtes mais elles
ne sont pas régulières.
Les sommets sont tous de degré pair : il y a un nombre pair d'arêtes
qui aboutissent en chaque sommet.
Le solide de Csaszar est aussi homéomorphe
au tore. Chacun de ses sommets est relié par une arête
aux 6 autres sommets.
Ces deux solides vérifient la formule corrigée d'Euler
pour un solide non convexe : F +
S - A = 2 - 2 h
avec S nombre de
faces ; S nombre
de sommets ; A nombre
d'arêtes et h
nombre de trous.
Celui
de Szilassi
Le mode MANUEL stoppe le solide dans sa position actuelle.
On peut alors le contrôler en le cliquant glissant avec la souris.
Le mode AUTO relance la rotation automatique du solide.
Il est toujours possible de déplacer le solide avec le CLAVIER,
autour des trois axes, Ox, Oy et Oz avec les flèches Haut, Bas,
Gauche, Droite, Shift et Control.
 PLEIN
ECRAN
Le
dual : celui de Csaszar
Même mode d'emploi que le solide précédent.
Ce solide n'est pas facile à visualiser.
On peut trouver un patron de ce solide
ICI.
Ces
deux objets sont en quelque sorte des monstres topologiques.
Au départ, une observation simple que l’on peut faire
sur le tétraèdre : chaque face est en contact avec
toutes les autres par une arête.
Ceci ne se vérifie pas pour le cube ni pour les autres solides
de Platon.
Question : existe-t-il
d’autres polyèdres pour lesquels chaque face est en
contact avec chacune des autres ?
Un tel polyèdre est découvert en 1977 par le mathématicien
hongrois Lajos SZILASSI. Celui-ci trouve un heptaèdre : 7
faces, 14 sommets, 21 arêtes et un trou. Chaque face hexagonale
est adjacente aux six autres. Mais peut-être n’est-ce
encore qu’un représentant d’une famille plus
nombreuse.
Y-en-t-il d'autres ?
Une sculpture représentant ce a été réalisée
en 2002 en collaboration avec plusieurs établissements :
la section de Techniciens Supérieurs « Réalisation
d’ouvrages chaudronnés » du lycée de Decazeville
et la section bois du lycée professionnel d’Aubin,
pour des fabrications en acier inoxydable et en bois ; la section
Transport du lycée professionnel Jean Baylet de Valence d’Agen
effectuant le transport de Decazeville à Beaumont-de-Lomagne.
L’exemplaire en acier est placé dans la cour de la
maison natale de Pierre de Fermat à Beaumont-de-Lomagne.
On peut manipuler des exemplaires en bois dans l’espace Fermat.
Autre problème : le coloriage
des cartes
L’impression en couleur d’une carte géographique
politique plane conduit à préciser le nombre minimal
de couleurs pour distinguer des pays limitrophes.
Depuis sa formulation au milieu du XIXe siècle,
des nombreux mathématiciens se sont intéressés
à ce problème du coloriage des cartes.
Il a été résolu en 1976 seulement : toute carte
plane (de régions délimitées par des frontières
linéaires) peut être coloriée à l’aide
de quatre couleurs seulement. C’est
le théorème des quatre couleurs. que l'on peut retrouver
sous forme de jeux ICI.
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