Le
problème
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de Diophante G268 ici :
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/g-probabilites/g2-combinatoire-denombrements/2117-g268-anagrammes-diophantiennes
Première
partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (360
880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.
En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, à
quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ?
Quel mot apparaît au rang 2011 ?
Deuxième
partie
Une
autre manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau
factoriel, de type 1.
Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on
écrit sur la première ligne la première lettre
P.
Puis sur la deuxième ligne, on insère la deuxième
lettre H, pour obtenir la liste : HP PH.
On recommence pour les lignes suivantes : pour chacun des mots de
la liste n-1 (gardés dans l’ordre), on intercale, de gauche
à droite, la nième lettre, aux
rangs 1, 2, …, n.
Ainsi, sur la troisième ligne, on obtient OHP HOP HPO (à
partir de HP) puis OPH POH PHO (à partir de PH).
D’où le début du tableau :
P
HP
PH
OHP
HOP HPO OPH POH PHO
DOHP
ODHP OHDP OHPD DHOP HDOP HODP HOPD DHPO HDPO etc.
Ainsi
on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits
avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une
fois.
Quel doit être l’anagramme de départ d’un tel tableau
factoriel, de type 1, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la
neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment
?
Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne
?
Troisième
partie
Une
troisième manière d’obtenir tous ces mots est de dresser
un tableau factoriel, de type 2.
Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on
écrit sur la première ligne la première lettre
P.
Puis sur la deuxième ligne, on insère, de gauche à
droite, la deuxième lettre H, pour obtenir HP PH.
On recommence, en introduisant une nouvelle lettre pour toute la liste
précédente, au rang 1, puis au rang 2, etc.
D’où le début du tableau :
P
HP
PH
OHP
OPH HOP POH HPO PHO
DOHP
DOPH DHOP DPOH DHPO DPHO ODHP ODPH HDOP PDOH etc.
Comme
précédemment, on obtient, sur la neuvième ligne,
tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées
chacune une fois.
Quel
doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel
de type 2, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième
ligne, au rang R obtenu précédemment ?
Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne
?
