L'ensemble des points d'où l'on voit deux segments sous le même angle

PROBLEME N° 315 APMEP P.Jullien

Dans le plan euclidien, soient quatre points A, B, C et D, alignés dans cet ordre sur une droite (D).
Déterminer l'ensemble des points M du plan d'où l'on voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.

SOLUTION

Trouvons d'emblée un point K d'où l'on voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.
Pour cela fixons un point P, sous lequel nous voyons le segment [CD] sous un angle α.
            -Nous traçons l'arc capable (C) d'où l'on voit [CD] sous l'angle angle α
              (utiliser le cercle circonscrit aux points P, C et D).

            -Traçons alors un angle AQB de même mesure.

              En traçant par exemple la parallèle à (PC) passant par A puis la parallèle à (PD) passant par B.
              Ces deux parallèles se coupent en Q, point qui voit [AB] sous l'angle α.
            -Traçons l'arc capable (C') d'où l'on voit [AB] sous l'angle α
              (en utilisant le cercle circonscrit aux points A, Q et B).

            - Les deux arcs capables se coupent en un point K d'où l'on voit les deux
              segments [AB] et [CD] sous le même angle α.

Appelons (C) et (C') les deux arcs tracés portant P et Q.
Ils se coupent en un point K qui voit les deux segments sous le même angle α.

Les cercles (C) et (C') sont homothétiques dans l'homothétie de centre H et de rapport
k = HK/HN.
Nous avons aussi
k = HL/HK.
Donc HK/HN = HL/HK et
HK . HK = HN . HL
On a alors : HK . HK . HK . HK= HL. HK. HN . HK
Soit : HK⁴ = HL . HK . HN . HK
Mais HL . HK est aussi la puissance du point H par rapport au cercle correspondant à l'arc (C'),
cette puissance est aussi égale à HA . HB,
De même HN . HK est la puissance du point H par rapport au cercle de l'arc (C),
cette puissance est aussi égale à HD . HC,
finalement HK⁴ = HA . HB . HC . HD
Ce résultat, dépend uniquement de A, B, C, D fixés au départ.

Première conclusion
Le point K est situé dans le cercle de centre H et de rayon r égal à la racine quatrième du produit HA . HB . HC . HD

Réciproquement, tout point M de ce cercle, qui n'est pas sur la droite (D), voit le segment [AB] sous un certain angle β, pour lequel on retrouve M et un autre point (qui peut lui être confondu, lorsque les cercles (C) et (C') sont tangents).

CONCLUSION finale
Le lieu cherché est le cercle de centre H et de rayon r, privé de ses points communs avec la droite (D).

ANIMATION

Ci-dessous, l'animation traduit ce résultat.
Les points A, B, C, D, P et M sont déplaçables avec la SOURIS ou le CLAVIER.

En déplaçant le point M sur le cercle obtenu, on vérifie que ce point voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.
On peut aussi déplacer le point gris P qui permet de choisir arbitrairement l'angle de départ et donc de modifier les deux arcs capables (C) et (C').

Les quatre flèches sont uilisables pour M et P.
Les flèches GAUCHE et DROITE sont utilisables pour A, B, C et D.

CLIQUER

REMARQUES

L'angle α est maximum lorsque les arcs (C) et (C') sont tangents.
Pour cela déplacer le point P de manière à rendre tangents les deux arcs capables.
ATTENTION à déplacer doucement : c'est juste à la limite de l'intersection possible de ces deux arcs.
Déplacer ensuite le point M, l'angle en M est maximal au point de tangence des deux arcs.

La même solution vaut lorsque B et C sont permutés (lorsque les segments se chevauchent, sans que l'un contienne l'autre).
L'angle α peut prendre toutes les valeurs, comprises entre 0 et π.