Expérimentons

Choisir avec le curseur la largeur du casier.
Choisir le nombre de bouteilles, puis les placer dans la bouteille
-soit en cliquant dessus (elles entreront alors par la gauche)
-soit en les déplaçant avec la souris, elles se positionneront naturellement.
Dans cette animation, les alignements seront automatiques à partir d'une certaine ligne... à déterminer.

 

 

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  Quelques résultats

Cette fois, il n'y a aucune contrainte sur les espacements dans la ligne du bas du casier.
L'alignement ne fonctionne pas toujours de façon systématique.
Chaque fois que l'espace entre deux boules est plus grand que le diamètre multiplié par racine de 3, cela ne marche plus.
Essayer de comprendre pourquoi en observant les bouteilles... juste observer attention ;o)

 

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Espacement entre les bouteilles

En observant bien les résultats dans l'animation précédente nous constatons qu'il existe des cas où l'alignement horizontal des bouteilles n'a pas lieu.

Quand cela a-t-il lieu ?
Soit d le diamètre de la bouteille, cela se produit quand la distance entre les centres de deux bouteilles voisines dépasse la valeur d.
Cette valeur est la limite de la distance autorisée entre les deux centres pour obtenir l'alignement magique.

Calage des bouteilles sur les bords du casier
Nous verrons que si les bouteilles sont 'calées' contre les bords du casier au moins tous les deux rangs en partant du bas, alors nous obtenons un alignement magique à partir d'un certain rang.

Dans l'exemple suivant, les bouteilles ne sont pas bien "calées", (obtenu avec la deuxième animation de cette page) . L'intervalle entre les deux boules en bas du casier à droite est plus grand que d.    fig A

Dans cet exemple, (obtenu avec la troisième animation de cette page), les bouteilles sont "bien calées". Nous avons en bas du casier : -une distance minimale à gauche -une distance égale à d à droite.    fig B

fig C

Ci-contre (exemple obtenu avec la troisième animation de cette page), nous avons deux cas intermédiaires à gauche et à droite. Nous désignerons les bouteilles par leurs centres. Cas où les bouteilles F, H, G et B, C, A sont bien calées dans le bas et sur les côtés du casier. Les angles en H et en C sont droits. .Démontrons que les points B, I et A sont alignés En H le raisonnement serait le même pour l'alignement des points F, K et G. Soit d le diamètre d'une bouteille : d = BI. De même d = AI et d = CI car les bouteilles se 'touchent' (elles sont tangentes). (CI) est donc médiane dans le triangle rectangle ACB. Il s'ensuit que les points B, I et A sont alignés et forment l'hypoténuse du triangle rectangle ABC. Notons que [AB] est le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC. Nous avons montré que, lorsque les bouteilles sont bien calées, les triangles verts en H et C sont rectangles Remarquons que ce n'était pas le cas dans la fig A.

.Démontrons que l'on doit avoir AC < d pour obtenir le calage de B sur le bord du casier

Supposons AC = d .
Soit E le milieu de [AC], alors AC = d / 2.
Avec D est le milieu de [BC], nous avons ID = EC et donc ID = d / 2.
Comme IB = d, nous déduisons de la relation ID = IB / 2 que le triangle isocèle BIC est équilatéral.
Ceci signifie que BC = d c'est-à-dire que les deux cercles de centre B et C sont tangents comme dans le cas de la fig B précédente.
Si donc AC > d alors la bouteille de centre B ne sera plus calée sur le bord du casier. C'est le cas à droite de la fig A.

.Démontrons que les angles en P et Q sont droits

Tous les segments dessinés en rose, ont une longueur égale au diamètre d des bouteilles.
Il en est de même de chacun des segments de couleur bleu ciel.
Le quadrilatère RSBI a 4 côtés de même longueur. C'est un losange et ses côtés opposés sont parallèles.
Nous avons (RS) // (IB) et RS = IB.
En étudiant, de proche en proche, chacun des losanges dessinés en rose et bleu ciel, nous démontrons que TU = IB et (IB) // (TU).
De la même façon, nous arriverions à AI = VT et (AI) // (VT).
Comme (AI) // (IB), nous déduisons que (VT) // (TU), c'est-à-dire que les points V, T et U sont alignés.
Comme AI = IB, nous déduisons que VT = TU.

VT = TU et (VT) // (TU) impliquent que les points V, T et U sont alignés.
Par ailleurs PT = TU = VT.

Le triangle UPV est ainsi inscriptible dans le cercle de diamètre UV de rayon d, de centre T.
Il est donc rectangle.

Comme VP est vertical (V appuyé sur le bord du casier), nous en déduisons que (PU) est horizontal.
De même on montrerait que (QZ) est horizontal.

Remarque :
Les triangles UPV et ACB ont leurs côtés parallèles et ils ont même hypoténuse. Ils sont donc superposables.
Il en est de même pour les deux triangles GHF et ZQN.

.Démontrons que les points U, W et Z sont alignés sur une droite horizontale

fig D

Le point O est parfaitement déterminé à partir des bouteilles colorées en rose, bleu et vert à un niveau inférieur au sien. Les bouteilles colorées en noir stabilisent l'ensemble par l'appui sur les bords du casier Nous avons vu que les triangles du bas gauche et droite se retrouvaient symétriquement en haut du casier. Les positions des bouteilles intermédiaires se retrouvent aussi symétriquement (par construction) dans la partie supérieure du casier. O est centre de symétrie de la figure complète. Ainsi W est l'image de X dans cette symétrie centrale. De même U est symétrique de A et Z est symétrique de G. Il s'ensuit que la droite horizontale (GXA) a pour image (UWZ) qui est aussi une droite horizontale.

P, U, W, Z et Q (notations fig C) sont finalement tous alignés horizontalement.
Les bouteilles sont alignées horizontalement sur la ligne du haut du casier dans la fig D.

Ce raisonnement reste valable, quel que soit le nombre de bouteilles en bas du casier, pourvu que les bouteilles soient bien calées et donc que les intervalles entre les boules voisines soient inférieurs à d .

S'il y a n bouteilles touchant le bas du casier, le point O se trouve sur sur la n ème oblique.
De façon générale, l'alignement magique se produira sur la 2n-1 ème rangée horizontale.

Vérifications

        Soit d le diamètre d'une bouteille et n le nombre de bouteilles dans le bas du casier.
        La largeur du casier est égale à d ( n - 1 +) si les espaces sont contrôlés,
        sinon elle est un peu plus grande mais légèrement inférieure à d ( n + 1) .
       Dans ce dernier cas, l'espace entre deux bouteilles peut être plus grand que d
       et l'alignement n'est pas systématique.
  

ANIMATION
.Choisir le nombre de bouteilles dans le bas du casier
.Indiquer si les espaces sont contrôlés ou non.
.Déplacer les bouteilles de rosé dont le centre est un gros point rouge en bas du casier.
 Il suffit de déplacer ces points avec la souris.  Observer l'effet sur les autres bouteilles.
.Cliquer deux par deux les autres bouteilles pour tracer les segments de droite qui joignent leurs centres.

.Les bouteilles roses peuvent être à la fois déplacées et utilisées pour tracer des segments de droite.
Pour cela
-après avoir cliqué sur le bouton Lignes, on peut tracer des segments de droite entre les différentes bouteilles y compris les roses ;
-après avoir cliqué sur bouton Déplacer on peut déplacer à nouveau ces bouteilles roses.

A tout instant on peut modifier la couleur des tracés des segments de droite en cliquant sur la couleur désirée.

On pourra observer, l'effet sur les longueurs et alignements des segments de droites.

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Cette situation est également présentée dans le problème N°44 de " Which way did the bicycle go? "
C'est aussi le problème N°D442 2 de www.diophante.fr