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Le
joli tour de cartes de Zig et Puce
Ce
tour est issu du n° E571
de
Diophante.fr
Puce informe le public que Zig, pour le moment
dans sa loge, va dans quelques instants réaliser un véritable
tour de magie avec un jeu de 32 cartes.
Dans un premier temps, Puce convainc le public que les cartes ne sont
ni biseautées ni truquées puis il décrit le déroulement
du tour de cartes:
1) Le public choisira une carte (désignée par X) dont
je prendrai connaissance.
2) Un premier volontaire dans la salle viendra mélanger les 32
cartes autant de fois qu’il le désire avant de les étaler
sur une table en quatre rangées de huit cartes, faces invisibles.
3) Un deuxième volontaire choisira à sa convenance un
nombre de cartes qu’il retournera faces visibles.
4) Je retournerai une seule carte qu’elle soit face visible ou
face invisible.
5) Je quitterai la scène avant l’arrivée de Zig
et j’irai au fond de la salle afin qu’on ne puisse pas me
soupçonner de communiquer une quelconque information à
mon partenaire.
6) Zig arrivera sur scène et au bout de quelques secondes annoncera
à voix forte le nom de la carte X. S’il dit juste,vous
êtes invités à l’applaudir chaleureusement.
Le scénario se déroule jusqu’au point 3) inclus
comme annoncé par Puce et après le passage du deuxième
volontaire, on a le tableau T1 suivant :
Conformément au point 4), Puce retourne le valet de cœur
qui est au bout de la première rangée, ce qui donne le
tableau T2 qui sera le seul tableau vu par Zig :
Zig arrive sur scène et comme prévu après quelques
secondes de réflexion annonce que la carte X choisie par le public
est la Dame de Cœur.
Applaudissements nourris...
Par quelle « alchimie » purement mathématique, Zig
a-t-il pu identifier de manière certaine la carte choisie par
le public ?
SOLUTION
Le
jeu complet :
.
Le public joue, puis Puce.
.
Ensuite Zig qui ne voit que la configuration laissée par Puce
va deviner la carte choisie initialement.
Aucun trucage : Zig ne connaît pas la carte initiale,.
Dans chaque animation, le bouton CONSIGNES
est un bouton à bascule.
Pour visualiser ou cacher les consignes il suffit de cliquer ou recliquer
ce bouton.
Afin
de prouver que
Zig est vraiment devin sans trucage, je proposerai ensuite deux animations
indépendantes
: l'une pour le jeu de Puce et une autre pour le jeu de Zig :dans cette
dernière il faudra présenter la configuration obtenue
dans le jeu de Puce.
CLIQUER
Jeux
de Puce puis de Zig en deux animations séparées et indépendantes.
Afin de s'assurer qu'il n'y a aucun trucage, les deux animations suivantes
sont indépendantes. En dehors de la configuration finale obtenue
lorsque Puce a retourné sa carte et que l'on doit transmettre
à Zig, il n'y a aucune communication entre les deux animations.
Le tour est purement mathématique.
L'animation de Puce permet de savoir quelle configuration il doit laisser
à Zig (garder visible cette configuration) pour la reproduire
sur l'animation de Zig.
Ensuite dans celle de Zig, on doit redonner la dernière configuration
obtenue avec Puce. Alors au vu de cette configuration, Zig donne la
carte qui a été choisie initialement.
Dans chaque animation, le bouton CONSIGNES
est un bouton à bascule.
Pour visualiser ou cacher les consignes il suffit de cliquer ou recliquer
ce bouton.
Ce
que Puce doit calculer et proposer
Dans cette première animation, sont présentées
de façon dynamique les étapes 1 à 5 du tour.
.Le
public choisit une carte : la cliquer.
.Puis
une personne du public vient retourner quelques cartes du jeu au hasard.
.Zig
choisit alors judicieusement une carte à retourner et laisse
une nouvelle configuration de cartes à Zig.
Bien entendu Zig ne visualise ni n'entend rien.
Dans l'animation qui suit, nous reprenons les étapes précédentes
et l'ordinateur aide Puce dans le choix de la dernière carte
à retourner pour laisser une nouvelle configuration à
Zig.
Le décodage de Zig
Dans cette animation, nous entrons (en cliquant
les cartes adéquates), la configuration laissée par Puce
à Zig.
Il s'agit de la configuration obtenue dans l'animation précédente.
Seules les positions des cartes sont retranscrites.
Le jeu ayant été mélangé, peu importe les
figures des cartes. Cela renforce d'autant la magie mathématique
du tour ;).
Zig
est alors capable de retrouver la carte initialement choisie par le
public.
Dans l'animation, MELANGER le jeu avant de cliquer
les cartes pour indiquer la configuration obtenue par Puce.
CLIQUER
Analyse
sur l'exemple proposé
Code échangé
entre Zig et Puce avant de jouer.
Les cartes sont numérotées de 0 à 31 :
7 de Trèfle à As deTrèfle --> 0 à 7
7 de carreau à As de Carreau --> 8 à 15
7 de Cœur à As de Cœur --> 16 à 23
7 de Pique à As de Pique --> 24 à 31.
Par exemple la Dame de Cœur
a le numéro 21.
Bien entendu ce code peut être différent. Il est à
la base du tour. Zig et Puce doivent absolument se mettre d'accord
sur un codage des cartes avant de jouer.
.
Ce
que Puce doit calculer et proposer
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Supposons
que le public ait choisi la Dame de Cœur. La Dame de Cœur
a le numéro 21 soit 10101 en
binaire.
Une
fois les cartes mélangées un volontaire a retourné
quelques cartes les cartes comme proposé ci-contre.
On numérote la position des cartes de 0 à 31 sur
le jeu. Puis chaque carte retournée est codée
en binaire.
Ici nous avons les cartes 0, 1, 4, 7, 10, 11, 14, 15, 16, 18,
20, 27 et 29 qui sont donc codées :
0 ,1, 100, 111, 1010, 1011, 1110, 1111, 10000, 10010, 10100,
11011, 11100.
Ces nombres binaires sont complétés avec des zéros
à gauche de façon à avoir tous la même
longueur :
00000 ,00001, 00100, 00111, 01010, 01011, 01110, 01111, 10000,
10010, 10100, 11011, 11101.
Nous additionnons ces nombres binaires avec la NIM-addition,
telle que 0+0 =0 ; 1+1 = 0; 1+0=1 ; 0+1=1.
Nous trouvons :10010. |
Pour trouver la carte que Puce doit retourner il faut NIM-retrancher
cette somme au n° de la carte choisie initialement : ici la
Dame de Cœur codée 10101.
Comme la NIM-addition est identique à la NIM-soustraction,
on obtient :
10010
+ 10101
= 00111
qui est le nombre décimal : 2² + 2 + 1 = 7.
Il faut donc retourner la carte en position 7 en partir de 0.
C'est la huitième carte. Elle a été retournée
ci-contre. |
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Décodage
de Zig
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Zig
est donc face au tableau ci-contre à gauche.
Il lui suffit de transcrire, le n° de la position de
chaque retournée (en partant de 0) en binaire.
Ici les n°s 0, 1, 4, 10, 11, 14, 15, 16,
18, 20, 27 et 29 donnent
00000
,00001, 00100, 01010, 01011, 01110, 01111, 10000, 10010,
10100, 11011, 11101
Ensuite
il calcule la NIM-addition de ces nombres et obtient :
00000+00001+00100+01010+01011+01110+01111+10000+10010+10100+11011+11101=10101
C'est-à-dire 21 en décimal.
La
carte cherchée est celle codée 21, c'est bien
la Dame de Cœur.
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Les animations précédentes sont réalisées
avec le codage indiqué :
7 de Trèfle à As deTrèfle --> 0 à
7
7 de carreau à As de Carreau --> 8 à 15
7 de Cœur à As de Cœur --> 16 à 23
7 de Pique à As de Pique --> 24 à 31.
Nous
aurions d'autres résultats numériques avec un codage
différent entre Zig et Puce. Mais cela fonctionnerait de
la même façon.
Le
calcul n'est pas évident pour ceux qui n'ont pas l'habitude
de coder et décoder en base deux. Aussi le site Diophante.fr
propose quelques astuces pour exécuter ce tour en public
avec deux personnes complices. Le résultat est bluffant.
Sinon, chacun disposant d'un ordinateur peut utiliser les animations
précédentes.
Elles sont indépendantes, montrant ainsi qu'il n'y a pas
de communication entre elles et donc pas de tricherie.
ANALYSE
GENERALE et procédure
mentale proposées par Diopohante.fr
Pour
en savoir plus et retrouver des procédures mentales de calcul
sans utiliser les animations précédentes aller sur Diophante
.fr voir la solution du E571 ICI.
Et
plus particulièrement le
décryptage de Diophante lui-même.
C’est un problème de décodage
binaire.
On peut affecter à une carte quelconque d’un jeu de 32
cartes la représentation binaire d’un entier compris
entre 0 et 31.
Par exemple l' As de Pique n°31 est codé en binaire 11111.
Bien entendu, avant la réalisation du tour, Zig et Puce se
sont mis d’accord sur le même système de codage
des cartes.
Par ailleurs on peut associer à un tableau de dimensions 4*8,
avec ses k cartes faces visibles et 32- k cartes face invisibles,
la représentation binaire d’un nombre compris entre 0
et 31.
En numérotant de 0 à 31 les cases du tableau de la première
rangée à gauche jusqu’à la quatrième
rangée à droite, on peut attribuer à chacune
des k cartes faces visibles* un entier compris entre 0 et 31 donc
sa représentation binaire.
Par la NIM-addition (modulo 32) de ces k nombres, on obtient la représentation
binaire d’un entier compris entre 0 et 31, qui est appelée
la trace du tableau.
Peu importe que la même trace soit obtenue avec une ou plusieurs
configurations distinctes de cartes faces visibles ou invisibles.
L’important est d’avoir une trace de départ T1
telle qu’avec une seule carte T à retourner, Zig puisse
déduire la carte T2 choisie par le public.
Le tour consiste donc pour Puce à présenter à
Zig un tableau dont la trace T2 modulo 32 correspond à la carte
que ce dernier doit deviner.
Puce a devant les yeux le tableau laissé par le public. Il
calcule mentalement sa trace T1 modulo 32.Il connaît la carte
T2 que Zig doit deviner. Il s’agit donc pour lui de retourner
la carte T qui permet de passer de T1 à T2. C’est tout
simple. La représentation binaire de T est telle que T1+ T
= T2 modulo 32. D’où T= T2- T1 qui est aussi égal
à T2 + T1 par la NIM-addition.
Avec un peu d’entraînement et un repérage astucieux
du résultat des NIM-additions dans le tableau, le tour peut
être réalisé en moins de 30 secondes aussi bien
par Puce que par Zig. Zig peut être encore plus rapide que Puce
car il a u seul calcul à faire mais Puce a l’avantage
de pouvoir “baratiner” le public tout en faisant ses calculs
de tête.
* ou invisible si l’on préfère. On retiendra les
faces visibles (ou invisibles) si elles sont en plus petit nombre
pour faciliter les calculs de la NIM-addition.
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