Le
jeu du chat et de la souris
Le problème
Une souris dans l'eau...
et
un chat qui la guette.
Il ne fait pas semblant.
Elle a bien du souci !
Cependant tous les deux ont beaucoup d'expérience.
La souris dans l'eau va moins vite que le chat.
Elle nage avec une vitesse constante.
Mais une fois sur l'herbe elle va très vite et le chat ne peut
rivaliser avec elle !
Aussi la souris veut-elle sortir de la mare,
sinon elle finira par se noyer.
Une fois sur l'herbe, hors de la mare,
elle est sauvée.
Le chat se déplace à vitesse constante sur le bord circulaire
de la mare : il déteste l'eau.
C'est un chat très patient
et tenace, il se dirige toujours vers le point le
plus proche de la souris.
QUESTION
La souris peut-elle s'échapper quelle que soit sa position
de départ ?
1°) Supposons que la vitesse du chat soit 4
fois supérieure à celle de la souris.
Envisager plusieurs stratégies
d'échappement pour la petite souris.
2°) La mare a pour rayon 1 unité.
Le chat va toujours 4
fois plus vite que la souris, que se passe-t-il lorsque la souris
évolue au départ sur un cercle de rayon 1/4
?
Si le chat va v
fois plus vite que la souris, que se passe-t-il lorsque la souris
évolue au départ sur un cercle de rayon 1/v?
3°) Y-a-t-il une vitesse du chat permettant à la souris
de s'échapper quelle sue soit sa position de départ
?
4°) Lorsque la chat a une vitesse v quelconque, y-a-t-il
une possibilité d'échappement ?
ANIMATION
Plusieurs stratégies peuvent être envisagées par
la souris.
Pour bien comprendre le problème, une tacftique est proposée
:
La souris s'éloigne toujours du chat : Away from the cat.
Avant de démarrer avec le bouton GO
:
-> Positionner le chat sur le cercle ;
-> Positionner la souris dans la mare ;
-> Le rapport des vitesses du chat sur
le bord de la mare par rapport à celle de la souris dans l'eau
est à fixer avec le bouton adéquat.
/!\
Penser à appuyer la touche ENTRÉE si
le nombre est frappé au clavier.
-> Eventuellement modifier les couleurs
de l'animation ;
-> Enfin lancer la course en cliquant le bouton GO.
Le bouton STOP arrête provisoirement
le jeu pour observation éventuelle,
il suffit ensuite de cliquer GO pour poursuivre
la course.
Le bouton RAZ réinitialise le jeu.
CLIQUER
QUELQUES
pistes DE SOLUTION
1°)
Essayer les différentes tactiques proposées dans l 'animation
précédente.
- La première stratégie Away
va épuiser la souris :
le chat ne pénètre pas dans la mare cependant
la souris ne peut pas sortir et va finir par se noyer.
--> Cette stratégie ne fonctionne pas.
- La deuxième stratégie visant un point diamétralement
opposé au chat à tout instant ne fonctionne pas non
plus.
--> Mêmes inconvénients que la précédente
tactique.
Notons toutefois que ces stratégies peuvent fonctionner si
la vitesse du chat diminue.
Cela dépend de la position initiale du chat : si elle est assez
éloignée de celle de la souris, alors avec une vitesse
inférieure à 3.1.., la souris a des possibilités
de s'en sortir.
Nous allons analyser cela de plus près dans la suite.
-La troisième stratégie fonctionne avec une vitesse
de 4 pour le chat et 1
pour la souris.
Mais elle ne fonctionne plus avec une vitesse de 4.1
Elle fonctionne pour tout e vitesse plus petite que 4.
-La quatrième stratégie ne fonctionne pas toujours pour
une vitesse de 4.
Cela dépend du rayon du cercle intérieur
sur lequel la souris essaie de se postionner à l'opposé
du chat (Circling).
Cela ne fonctionne plus lorsqu'elle est assez proche du bord car le
chat la rattrape très vite et ne la lâche plus !
Nous analyserons les limites de ces deux stratégies dans les
autres questions.
Dans la suite, sans perte de généralité,
nous supposerons que la vitesse de la souris est l'unité
et celle du chat v.
le rapport des vitesses est la vitesse v du chat.
2°)
La souris tourne sur le cercle de rayon 1/4, de centre
O.
Lorsqu'elle arrive sur un point M du cercle faisant
un angle au centre de 180° avec le chat, elle tente de s'échapper
en allant vers le bord de la mare le plus proche.
La distance la plus courte est obtenue en allant dans une direction
perpendiculaire à la tangente en M au cercle de centre O.
Cette distance est d = 1-1/4
Pendant que la souris parcourt cette distance, le chat doit faire
le demi-tour de la mare i.e. la moitié du périmètre
de la mare :
1/2 * 2 π *1 = π
Or sa vitesse étant 4 fois celle
de la souris, il parcourt 4 fois la distance
courue par la souris donc
4*d = 4*(1-1/4) = 3
comme 3 < π
Le chat n'a pas le temps de rattraper la souris. On peut l'observer
sur l'animation, elle est sauvée !
3°)
Si le chat va v fois plus vite que la souris,
pour que la souris ait une chance de s'en sortir, il faudra
v*(1-1/v) <
π
soit
v - 1 < π
c'est-à-dire v <
π + 1
Nous pouvons le vérifier en modifiant la vitesse dans l'animation.
Ainsi cette stratégie, où la souris est positionnée
d'emblée à l'opposé du chat,
sur le cercle de rayon 1/v,
fonctionne dès lors que le chat a une vitesse v
inférieure à π + 1.
Rappelons que dans cette stratégie, nous avons placé
d'emblée la souris à l'opposé du chat sur le
cercle de rayon 1/v.
Dans ce
cas, la vitesse angulaire de la souris est identique à celle
du chat.
La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle
inscrit correspondant.
En effet, si le rayon de la mare est v fois
plus grand, pour un même angle inscrit entre les deux cercles
de rayons respectifs 1 et 1/v,
le rapport des longueurs des arcs correspondants est également
de v.
Cela correspondant au rapport de la vitesse du chat par rapport à
la souris et les vitesses angulaires de nos deux ennemis sont identiques.
QUESTION
Partant d'un point quelconque sur ce cercle, la souris peut-elle toujours
se positionner ainsi à l'opposé du chat, quand la vitesse
du chat est inférieure à π + 1
? Et dans les autres cas ?
Ce n'est pas évident et c'est l'objet de la question suivante.
4°)
Si le chat a une vitesse de v.
La souris a une vitesse de 1.
Soit r le rayon du cercle intérieur,
sur lequel la souris va faire son 'circling' pour
essayer de se placer à l'opposé du chat.
La souris met une durée de (1-r) pour arriver au bord une fois
sortie de son cercle.
Pour que la souris puisse s'échapper il faut :
v*(1-r) < π : elle
doit arriver au bord avant son ennemi qui lui doit parcourir la moitié
de la circonférence de la mare.
Donc v - v*r < π
v - π < v*r
Cela implique
(v - π) / v < r
1 - π/ v < r
r > 1 - π/ v
Exemples
a)
si v=4 -->
r > 0.214...
Il faudra que le rayon du cercle, sur lequel la souris tente le circling,
soit supérieur à 0.214...
Pour
toute valeur inférieure, le chat attrapera la souris.
b)
si v=4.3 --> r > 0.269...
c) si v=3.4 --> r > 0.76...
Cette condition
r > 1 - π/ v est-elle
SUFFISANTE ?
Elle l'est si la souris est bien positionnée
à l'opposé du chat sur ce cercle.
MAIS la souris
peut-elle toujours se positionner ainsi à l'opposé du
chat ?
La réponse est négative.
EXPLICATION
La vitesse angulaire des deux animaux est différente lorsque
le rapport des rayons des deux cercles est différent du rapport
des deux vitesses.
Tactique du circling
La souris en tournant autour de ce cercle va modifier l'écart
angulaire entre elle et le chat.
Elle doit faire que l'écart angulaire entre les deux atteigne
une valeur proche de π radians soit de
180° : ceci l'éloigne au maximum de son prédateur.
Les différences des vitesses angulaires augmentent en même
temps que le rapport entre les deux rayons.
Le rayon de la mare étant constant, l'écart angulaire
augmentera d'autant plus vite que le rayon du cercle du circling
de la souris sera plus petit.
Si le rayon intérieur est proche de celui de la mare, la distance
à parcourir en ligne droite par la souris est courte mais...
le chat se rapproche très vite car sa vitesse est plus grande
et l'écart d'angle à chaque déplacement est petit
comme le rapport des rayons.
Allant dans un sens puis dans l'autre, le chat fait encore diminuer
l'écart d'angle entre les deux.
La souris n'a plus aucune chance.
Quand la vitesse du chat diminue, cette limite sécurité
du cercle de circling augmente.
Et si la vitesse du chat est plus petite que π,
le rayon de sécurité augmente sérieusement.
Par exemple avec une vitesse v = 2.9, un
rayon de 0.85 fonctionne et ce n'est pas
si long.
Toujours avec une vitesse v = 2.9, un rayon
de 0.86 fonctionne et c'est beaucoup plus
long : voir l'évolution très lente de l'angle entre
la souris et le chat.
Dans ce dernier cas, encourager la souris pour qu'elle ne se noie
pas, et s'armer de patience : l'évolution est très lente.
Remarque
Soit
une mare de rayon R.
Soit αC la vitesse angulaire du chat
et αS la vitesse angulaire de la souris.
A chaque unité de temps, le chat de vitesse v,
a une vitesse angulaire αC telle que
αC * R = v =>
αC = v / R.
La souris sur le cercle du circling de rayon r
< R, a une vitesse de 1
= αS * r
=>
αS= 1/ r.
L'écart angulaire à chaque unité de temps se
creuse au maximum de : |αS - αC|
=|1/r - v/R|
Pour
obtenir une bonne position, il faudra au moins une durée t
telle que :
t * |1/r
- v/R | ~ π =>
t > π / |1/r
- v/R |
Ainsi
avec v=2.9 et r=0.86*R, le nombre d'unités de temps sera au
moins de π / (1/0.86*R
- 2.9/R),
OU R*π / (1/0.86 - 2.9)
Cette durée est atteinte qand la rotation des deux animaux
se fait dans le même sens.
En réalité, elle augmente considérablement,
quand la souris est proche du bord : le chat qui guette la souris
fait des allers et retours empêchant ainsi la variation de l'écart
angulaire entre les deux.
Dans l'animation j'ai colorié en bleu
ciel les limites théoriques pour le
'cercle de sécurité' du
circling de la souris (approximatif
pour la limite supérieure du rayon).
