L'animation Le secret du découpage Théorème général

 

L'animation

Henry Dudeney (1857-1930) découvrit une ingénieuse transformation de polygones suspendus. Il en exposa un modèle en acajou devant la Royal Society de Londres en 1905. Il s'agit de transformer 4 pièces groupées d'un triangle équilatéral en un carré de même aire.

L'animation ci-dessous montre la transformation.

 

CLIQUER

 

Le secret du découpage

Prenons un triangle équilatéral ABC de côté BC=2 pour simplifier. Son aire est (1/2)(2)(2/2) =
Le carré de même aire aura donc un côté mesurant c'est à dire racine quatrième de 3 (ou racine de (racine de 3)).
Sur la figure ci-dessous, nous allons montrer que le côté du carré est [RS].
Nous allons vérifier que sa mesure est bien .

Construction :

Soient D et R les milieux des côtés [AB] et [AC]. Soit O le symétrique de A par rapport à (BC). Nous avons OA = 2(2/2) = 2. OB = AB =2 Symétrie de O et de A par rapport à (BC) Traçons le cercle de centre O passant par B. OP = OB = 2 Soit Q le milieu de [AP] Traçons le cercle de centre Q passant par A. OA = 2 donc AP = 2 + 2 et QP = 1 + = O1Q OQ = QP - OP = 1 + - 2 = - 1 Soit (OO1) la parallèle à (BC) passant par O. I milieu de [OO1], alors OI est la longueur désirée soit . Avec Pythagore on a : O1Q2 = OQ2 + OO12 OO12 = O1Q2 - OQ2 OO12 = ( + 1 )2 - ( - 1 )2 OO12 = 4 Donc OO1 =2 Finalement OI = On construit le cercle de centre R de rayon OI qui coupe (BC) en S. RS = OI De D on trace (DF) perpendiculaire à (RS). Pour finir, on construit au compas RG = FS, puis la perpendiculaire (GH) à (RS). Nous obtenons ainsi les 4 polygones ADFR, BDFS, SGG, HGRC permettant de réaliser le triangle de Dudeney.

Remarque
Quand on transforme le triangle, on obtient un quadrilatère convexe (les angles plats sur les côtés sont conservés par rotation de 180°) ;
ce quadrilatère a par construction 4 angles droits. Il s'agit donc d'un rectangle.
Ce rectangle a même aire que le triangle initial : (le découpage conserve l'aire).
Un côté de ce rectangle (jaune + bleu) mesure RS. En effet c'est RF + RG = RF + FS = RS
Le calcul précédent, RS = , montre que l'aire du rectangle est égale à RS² .
Ce rectangle est donc bien un carré.

 

Théorème général de Hilbert

Etant donnés deux polygones dont les aires sont identiques il existe un découpage de l'un en un nombre fini de polygones qui permet de recouvrir exactement le second sans chevauchement.

Le principe général de base consiste à découper chacune des deux figures en triangles.
En effet
Pour tout couple de triangles de même aire, il existe un découpage permettant de passer de l'un à l'autre et vice versa.

Pour la démonstration, voir
http://bayledes.free.fr/decoupage/index.html