Format A et autres...

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Le format A

Prenons une feuille de papier de format A4 classique. Découpons la deux puis en quatre, huit, seize etc...
Si nous prenons comme unité d'aire celle de la feuille de départ, nous obtenons des morceaux dont l'aire est 1/2 puis 1/4 puis 1/8, 1/16 1/32 1/64 etc...
Redisposons les morceaux comme indiqué ci-dessous.

 

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En redisposant correctement les morceaux obtenus, nous pouvons aligner les différents sommets des rectangles.
De même si nous disposons les morceaux au centre de la feuille initiale, nous constatons que les diagonales des différents rectangles se superposent.
Les sommets des rectangles sont encore alignés sur les diagonales de la feuille A4 initiale.
Si nous construisons un graphique dont les points ont pour ordonnées les largeurs des rectangles et pour abscisses leurs longueurs
alors ces points seront alignés sur une droite passant par l'origine identique à la diagonale commune des rectangles,
tracée dans l'animation ci-dessus (fonction linéaire).

Les morceaux découpés ont tous la même forme.
Le rapport longueur sur largeur est le même pour tous les rectangles obtenus.

 Remarque

Répétons à l'infini le processus de découpage et calculons la somme des fractions obtenues avec les aires des différents morceaux
Nous avons une succession de puissances de 1/2. La réunion de tous les morceaux nous donne la feuille A4 initiale entière.
Sur le dessin, nous constatons donc que la somme infinie des puissances de 1/2 :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... vaut exactement 1.
Euclide avait pressenti ce résultat et trouvait que la limite de 1/2ⁿ quand n tend vers l'infini est nulle.
Cette notion de limite sera plus clairement définie des siècles plus tard par Weierstrass en 1865.

On retrouve le résultat précédent en notant simplement :
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... et encore
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... alors
2S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... donc
2S = 1 + S ainsi
S = 1

On peut également utiliser les résultats sur les suites géométriques, ici nous avons une suite géométrique (chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 1/2) de raison 1/2 plus petite que 1 et nous pouvons appliquer la formule vraie pour 0<x<1 :
1 + x + x² + x³ +x⁴ +x⁵+... = 1/(1-x)
avec x=1/2 on retrouve
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 2
donc
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +... = 1

 Autre format

Prenons une feuille de papier de format quelconque. Il suffit d'enlever une petite bande d'une feuille ordinaire.
Découpons à nouveau en deux puis en quatre, huit, seize etc... et adoptons les dispositions déjà vues ci-dessus.
Nous n'obtenons pas les mêmes alignements. En effet cette fois les morceaux obtenus n'ont pas tous la même forme.
Cependant si on observe bien, on peut noter qu'une fois sur deux, on retrouve certains alignements.

CLIQUER

Une fois sur deux les morceaux découpés ont la même forme.

En savoir plus

D'anciens formats ont laissé leur trace dans nos feuilles actuelles :
le 'feuillet' désignait le format 215 x 315 mm, l'hollandais était de 215 x 285 mm, le 'demi-feuillet' ou feuille était de 215 x 157,5 mm.

L'Organisation Internationale de Normalisation (ISO) constitua en 1947 le Comité Technique ISO/TC 6 "papier" qui
chargea un de ses sous-comités d’étudier les dimensions internationales des papiers et des cartons.
La recommandation fut demandée d’envisager la normalisation des formats.

Le système DIN est une vieille conception allemande du Deutsches Institut für Normung.
Le DIN était une institution dédiée à la normalisation.
L'ingénieur Walter Forstmann fut chargé d'élaborer une norme (DIN 476) pour fixer des formats de papier dns la période entre les deux guerres en 1922.
Le format A4 est dû à Lazare Carnot sous la Révolution française et fut ainsi repris en 1922 par l'Allemagne.

L'ISO reprit cette norme allemande sous le nom de ISO216.

Aujourd'hui de nombreux pays font partie de cette organisation qui siège à Genève en Suisse.
La France appliqua ce format en 1967. Seulement, les Etats-Unis, le Canada quelques pays d'Amérique du Sud et le Royaume-Uni n'appliquent pas ces formats.
La base mathématique de ce format est et le m².

Comme nous l'avons vu ci-dessus, lorsqu'on plie en deux une feuille A4, le format reste identique :
le rapport longueur sur largeur de la feuille reste constant. C'est très pratique.
Ainsi nous passons du format A3 au format A4,
en pliant des feuilles A3 en deux, puis du format A4 au format A5 en pliant également en deux une feuille A4.
Comment donc ce résultat a-t-il été obtenu ? Pourquoi n'est-il pas vrai avec certains autres formats ?

Analysons le format A

Soit L la longueur d'une feuille et l sa largeur.
Lorsqu'on coupe en deux, la largeur de la nouvelle feuille est L/2 et sa longueur est maintenant L.
Piour avoir la même forme il faut que le rapport des deux mesures soit identique donc que
L/l = l/(L/2) d'où
L²/2 = l² soit
L² = 2 l² ou encore
(L/l)² = 2 et finalement
L/l =
Le rapport longueur sur largeur est donc d'environ 1,414.
Ainsi pour la largeur de 21 cm la longueur est de 21 soit d'environ 29,7 cm.
En réalité le point de départ n'est pas la feuille A4 que nous utilisons couramment.
La série principale dérive du format A0 (la série additionnelle repose sur le même principe à partir de B0, mais le format initial est plus grand).
En 1922, le format standard DIN "A" (Deutsche Industrie Norm) a été défini à partir d'une feuille ayant pour surface 1 m².
Nous sommes donc partis de la feuille A0 de même forme mais d'aire 1m² exactement.
Elle mesure environ 118,9 cm sur 84,1 cm avec le rapport longueur sur largeur de .
A1 d'aire 1/2 m² mesure environ 84,1 cm sur 59,5 cm. Le rapport longueur sur largeur est aussi de .
A2 d'aire 1/4 m² mesure environ 59,5 cm sur 42 cm
A3 d'aire 1/8 m² mesure environ 42 cm sur 29,7 cm
A4 d'aire 1/16 m² mesure environ 29,7cm sur 21 cm
A5 d'aire 1/32 m² mesure environ 21cm sur 14,8 cm.
Le rapport Longueur sur largeur est constant c'est toujours .
Ainsi le rapport Longueur/Largeur est identique pour toutes les feuilles et chacune contient exactement deux feuilles du format immédiatement inférieur.
En 1786, Lichtenberg, professeur de physique à l'université de Göttingen, proposa que les dimensions des feuilles de papier soient dans ce format. C'était bien avant l'invention de la photocopie...

Notons qu'avec du papier 80g/m², une feuille A4 d'aire 1/16 m² pèse 5g.
Nous pouvons donc placer 3 feuilles dans une enveloppe et mettre un timbre normal sur l'enveloppe (moins de 20g).

Analysons les autres formats

Soit L la longueur et l la largeur (morceau 1).
Après le premier découpage en deux, nous obtenons un morceau de longueur l et de largeur L/2 qui n'a pas forcément la même forme que le premier.
Ensuite nous obtenons un morceau (morceau 3) de longueur L/2 et de largeur l/2.
Le rapport longueur /largeur est le même pour le morceau 1 et pour le morceau 3.
Une fois sur deux les morceaux ont la même forme.

De nombreux autres formats existent.
Ainsi le format 'cloche' correspond à une longueur de 40 cm pour une largeur de 30 cm ;
le format 'jésus' de 76 cm sur 56 cm ;
le format 'raisin' de 65 cm sur 50 cm ;
le format 'univers' de 130 cm sur 100 cm ;
le format DIN "B", correspondant aux formats A non massicotés et le DIN "C" destinés aux enveloppes et emballages des séries "A".

Voir aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Format_de_papier