La
grenouille et le ruisseau
sur
le casse-tête G167 de Diophante
Casse-tête
G167
La grenouille de la fable se trouve sur une bande de terrain de 45
mètres de largeur bordée au sud par une route prise
pour axe des abscisses et au nord par un ruisseau qui court parallélement
à la route. La grenouille cherche à atteindre le ruisseau
par bonds successifs de 1 mètre. Son point de départ
est sur l'axe des ordonnées à 32 mètres de la
route. A chaque bond effectué à l'intérieur de
la bande de terrain, elle choisit au hasard une direction parallèle
ou perpendiculaire à la route. Si elle atteint le bord de la
route, sagement elle s'abstient de la traverser et choisit au hasard
l'une des trois directions nord, est ou ouest. Si elle atteint le
bord du ruisseau, elle fait un ultime bond pour plonger en plein milieu
du ruisseau.
Déterminer l'espérance mathématique du nombre
de bonds qui l'amènent en plein milieu du ruisseau.
Modélisation
CLIQUER
Résultat
Voir le site Diophante.fr
pour diverses solutions et plus d'explications
:
Soit N(y) le nombre de bonds nécessaires à la grenouille
pour atteindre le ruisseau quand elle est à l'ordonnée
y (par convention on pose y = 0 pour le bord de route et y = 45 pour
le bord du ruisseau ).
Raisonner exclusivement sur la loi de probabilités de N(y)
est inextricable car comme le montre l'animation la grenouille est
susceptible de passer plusieurs fois par des points de même
ordonnée y.
Pour s'en sortir, il convient de passer par l'espérance mathématique
de N(y) désignée par E[N(y)] et d'établir des
relations de récurrence entre les espérances mathématiques
des nombres de bonds qui séparent la grenouille placées
aux ordonnées y – 1, y ,y + 1 du milieu du ruisseau.
Le but est de calculer E[N(32)]
Quand la grenouille vient de faire un bond qui l'amène à
l'ordonnée y >=1, elle se trouvait auparavant :
- ou bien à cette même ordonnée y avec une probabilité
1/4 + 1/4 = 1/2
- ou bien à l'ordonnée y + 1 avec la probabilité
1/4
- ou bien encore à l'ordonnée y - 1 avec la probabilité
1/4.
D'où la relation E[N(y)] = 1/2*(E[N(y) + 1) + 1/4*(E[N(y+1)]
+ 1) + 1/4*(E[N(y - 1)] + 1) = 1 + E[N(y)]/2 + E[N(y+1)]/4 + E[N(y
- 1)]/4,
ce qui donne 2E[N(y)] = 4 + E[N(y+1)] + E[N(y - 1)]
Quand y = 0, on a E[N(0)] = 2/3*(E[N(0) + 1) + 1/3*(E[N(1)] + 1).
D'où E[N(0)]= E[N(1)] + 3
On a évidemment E[N(45)] = 1, c'est le bond final dans le ruisseau
quand la grenouille atteint le bord du ruisseau.
A partir des deux relations 2E[N(y)] = 4 + E[N(y+1)] + E[N(y - 1)]
et E[N(0)]= E[N(1)] + 3 on calcule pas à pas E[N(1)],E[N(2)],E[N(3)],E[N(4)],..
et on en déduit la formule de récurrence plus simple
E[N(y)] = E[N(y+1)] + 4y + 3
D'où à partir de E[N(45)] = 1, on obtient rapidement
E[N(32)].
On
arrive à une espérance de :
E(N(32)) = 1 + 4*(44 +43+42+40+...+32)
+ 13*3 = 2016.
De
façon générale si n
est la largeur du champ et d
la distance de la grenouille à partir
du bas, l'espérance est :
E(N(d))
= 1 + n(2n+1) - d(2d+1)
