Les
ensembles de Julia et de Mandelbrot
La
nature est-elle fractale ?
"La
géométrie fractale changera profondément
votre vision des choses.
Il est dangereux de continuer cette lecture.
Vous risquez de perdre définitivement l'image inoffensive
que vous avez des nuages, des forêts,
des galaxies, des feuilles, des plumes, des fleurs, des
roches, des montagnes,
des tapis et bien d'autres choses encore..."
Michael Barnsley,
professeur de l'université nationale d'Australie
dans Fractals Everywhere
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Les
concepts mathématiques présentent une réalité
bien plus profonde que l'apparence matérielle.
Depuis toujours les hommes montrent de la curiosité à
comprendre les lois de l'univers.
La nature construit des structures en appliquant un principe d'économie.
Elle crée un modèle architectural et le répète
à différentes échelles à l'intérieur
et en dehors de l'objet. Par exemple le système de ramification
des plantes.
On pense même que dans un état de bonne santé,
le corps est en situation chaotique et que dans la maladie le corps
adopte un état de réponses répétitives.
La maladie fait que le corps perd de sa complexité et donc
perd son comportement fractal.
Les fractales mathématiques possèdent la propriété
d'autosimilarité, elles sont donc infiniment complexes quelle
que soit l'échelle d'observation.
Toutefois dans la nature, tout n'est pas aussi parfait. On ne peut
comparer un objet à une fractale idéale mathématique
que pour quelques niveaux de zoom. Le chou romanesco en est un exemple
étonnant.
Le chou entier (niveau 1) est formé de
copies alignées en spirale (niveau 2).
Chacune est composée de d'autres copies aussi disposées
en spirale (niveau 3).
Le phénomène se reproduit de nouveau une dernière
fois (niveau 4) .
Les fractales commencent à peine à être explorées
et constituent une manière assez nouvelle de voir le monde.
Un
peu d'histoire et de mathématiques
Gaston Julia (1893-1978) fut un précurseur
de l'étude des fractales.
Spécialiste des fonctions d'une variable complexe. Ses résultats
de 1917-1918 sur l'itération des fractions rationnelles ont
été utilisés, dans les années 1970, par
Benoît Mandelbrot.
Mandelbrot est né en Pologne en 1924 (mort
à Cambridge le 14 octobre 2010) et émigra en
France en 1936 chez son oncle Szolem membre fondateur du groupe Bourbaki.
En 1945 il lut sans trop d'intérêt un ouvrage de Julia
intitulé "Mémoire sur l'itération des fonctions
rationnelles". Cependant en 1970, au moyen d'ordinateurs d'IBM
aux Etats-Unis, il réalisa des illustrations d'un essai qui
surprit la communauté scientifique par les détails d'un
graphique qui sera baptisé "l'ensemble de Mandelbrot".
Mandelbrot mit ainsi en avant la géométrie fractale,
une nouvelle forme de pensée dans les domaines des mathématiques
et des sciences naturelles. Il a conçu des méthodes
d'observation basées sur l'autosimilarité.
Mandelbrot montra que de nombreuses structures naturelles apparemment
très complexes présentent en réalité une
régularité géométrique invariante à
différentes échelles. Il publia "The Fractal
geometry of Nature" en 1982.
Une fractale est le produit final obtenu par la répétition
infinie d'un processus géométrique bien défini.
Quel que soit le niveau d'observation, on constate qu'il existe un
modèle qui se répète sans que l'échelle
d'observation ait une quelconque importance.
Le procédé est généralement très
simple. En raison de l'itération infinie, on obtient des structures
d'une complexité extraordinaire.
Les fonctions
utilisées par Julia puis par Mandelbrot
Les ensembles de Julia et de Mandelbrot sont étroitement associés.
Ils sont surprenants par leur complexité et leur beauté.
Z étant une variable complexe, on construit la suite récurrente
définie par
Zn+1 = Zn² + C.
Cette expression est très intéressante lorsque Z représente
un nombre complexe : Z = a + ib.
Ce nombre complexe Z est représenté dans le plan par
un point d'abscisse a et d'ordonnée b.
Si Z = a + ib et Z' = a' + i b'
Rappelons que l'addition est définie par
Z + Z' = (a + a' ) + i (b + b')
et la multiplication par
Z Z' = (aa' - bb') + i (ba' + ab')
car i² = -1.
Cette suite a d'abord été étudiée par
Gaston Julia.
Peu chanceux, Julia se cachait le visage en partie, car il fut blessé
à la tête pendant la première Guerre mondiale.
Il mourut sans connaître la notoriété en 1978
malgré ses importantes découvertes car les ordinateurs
de son époque n'étaient pas graphiquement assez puissants.
Des
années plus tard, Mandelbrot étudia l'expression Zn+1
= Zn² + C, avec un ordinateur et ainsi
continua le travail entamé par Gaston Julia.
Il explora l'utilité des fractales dans différents domaines
notamment en physique et en économie.
Le terme de fractale fut inventé en 1975.
En étudiant les ensembles de Julia, il découvrit ceux
qui portent son nom : les ensembles de Mandelbrot.
Ensemble
de Mandelbrot
Ce
que l'on appelle "ensemble de Mandelbrot" est un ensemble
obtenu par une simple relation de récurrence avec une élévation
d'un nombre complexe au carré.
On
analyse la suite
Zn+1 = Zn² + C.
Dans l'ensemble de Mandelbrot, on analyse ce que l'on appelle l'orbite
0.
C'est-à-dire qu'on étudie l'itération répétitive
de l'expression Zn+1 = Zn²
+ C dans le cas particulier où Z0 = 0.
Dans l'animation suivante,
l'ensemble des images dans le plan, des valeurs de C où l'orbite
résultante ne va pas jusqu'à l'infini, est colorié
d'une certaine façon selon le temps d'échappement. Cet
ensemble de valeurs de C reçoit précisément le
nom d'ensemble de Mandelbrot.
Les autres valeurs de C donneront des points coloriés en noir.
Dans l'animation ci-dessous,
..On peut faire varier
le paramètre de couleur de 0 à 255, pour obtenir une
couleur différente : plus ou moins de vert.
Penser à frapper
la touche ENTREE si le nombre est entré au clavier.
.On peut zoomer de
nombreuses fois une zone choisie que l'on délimite avec la
souris.
.Cliquer le bouton
RéInitialiser lorsque les contours sont très lissés
:
alors le zoom atteint quelques
milliards... et on atteint les limites du calcul sur l'ordinateur.
Si nous approchons d'une zone quelconque de l'ensemble, et si nous
zoomons, nous voyons que les mêmes figures sont reproduites
à plusieurs reprises. Chaque agrandissement d'une partie est
semblable à l'ensemble total : c'est le caractère fractal.
Cliquer
C'est juste un petit peu long à commencer : une ou deux secondes...
Ensembles
de Julia
Dans les ensembles de Julia, on analyse la suite de nombres
complexes,
Zn+1 = Zn² + C dans
le cas où C est une constante..
L'ensemble des valeurs de Z où l'orbite (i.e
la suite des valeurs obtenues) ne tend pas vers l'infini est
colorié d'une certaine façon selon le temps d'échappement
vers l'infini, les autres en noir.
Dans l'animation suivante,
.On peut faire varier le
paramètre de couleur de 0 à 255, pour obtenir une couleur
différente : plus ou moins de vert.
Penser
à frapper la touche ENTREE si le nombre est entré au
clavier.
.On peut faire varier la
valeur de la constante complexe C. Pour cela on entre deux valeurs
: partie réelle et partie imaginaire.
Voici
quelques valeurs intéressantes :
0.285
et 0.01 ; 0.13 et 0.745 ; 0.4 et 0.2 ; -1 et 0 ;
0.5
et 0.5 ; 0.3 et 0.5 (lapin de Julia) ; -0.72 et 0.11 ; 0.185 et 0.013
Ne
pas hésiter à essayer de nombreuses valeurs.
.On peut zoomer de
nombreuses fois une zone choisie que l'on délimite avec la
souris.
.Cliquer le bouton
RéInitialiser lorsque les contours sont très lissés
:
alors
le zoom atteint quelques milliards... et on atteint les limites du
calcul de mon programme.
Observer le jeu des couleurs et l'autosimilarité des formes.
Cliquer
C'est juste un petit peu long à commencer : une ou deux secondes..
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