L'ancienne voie de New City
Le
problème
Bob se promène sur une ancienne voie et admire les environs...
Les deux voies extrêmes
sur les bords de la station sont réservées à un
service spécifique continu.
Des rames régulières
y circulent avec la même vitesse constante dans les deux sens.
La station est très longue et Bob a tout loisir d'observer les
rames.
Lorsque Bob marche à vitesse constante, une rame venant d'en
face, le croise toutes les 2 minutes.
Dans l'autre sens, une rame le double toutes les 2 minutes 24 secondes.
Une rame vient de le doubler et il s'arrête..
Dans combien de temps
(très précisément) une autre rame le doublera-t-elle
?
ANIMATION
- Un clic sur GO lance les rames.
- Un petit son signale qu'une rame double ou bien croise Bob.
- Le bouton Pause permet de stopper les trains afin de mieux observer
l'horloge.
- Cocher ou décocher le bouton
active ou non la promenade de Bob.
Cela permet de vérifier plus aisément la solution
du problème.
- Cliquer RAZ pour réinitialiser.
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SOLUTION
- La rame suivante doublera Bob 2 minutes 11 environ après la dernière
lorsque je suis à l'arrêt.
Plus exactement au bout de 2/55 heure soit 2 minutes 10.909... secondes
Il en est d'ailleurs de même pour le croisement : deux croisements
consécutifs seront espacés du même intervalle de temps.
En décochant le bouton marche de Bob, on peut facilement vérifier
que l'intervalle de temps est assez précisément de deux
minutes onze
entre deux trains passant près de Bob sur le même côté
de la voie.
Calcul
Soit t, le temps cherché converti en
heures.
Soit d, la distance en km, constante entre deux
trains sur une même voie.
Soit V, la vitesse de chaque train en km/h.
Soit v, la vitesse de marche de Bob en km/h.
Pour le croisement, les vitesses relatives s'additionnent :
d = (V+v)*2/60 (*)
Lorsqu'un train double Bob, les vitesses relatives se soustraient donc
avec 2min24s = 2.4 minutes, nous obtenons
d = (V-v)*2.4/60
(**)
Il vient avec (*) et (**)
: (V + v)*2/60 = (V - v)*2.4/60
donc 4.4 * v = 0.4 * V qui implique
V = 11 v (***)
Ainsi avec (*),
nous obtenons : d = 24*v / 60
SOIT d = 0.4*v ou encore
d = 0.4*V/11
Nous cherchons la durée d/V qui permet
à un train de parcourir la distance qui le sépare d'autre
au moment où il est près de Bob.
Avec nous avons finalement : t = d/V = 0.4/11 en heure.
Cela donne 2 minutes et 10,9090... secondes.
Donc environ 3min 11 s.
