Transformer un triangle en un parallélogramme de même base et de même aire

Premier cas

le triangle a un côté parallèle à l'autre côté du parallélogramme
l suffit de couper le triangle suivant une parallèle à la base commune à mi-chemin et de faire pivoter le morceau supérieur.

 

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Deuxième cas

le triangle a juste une base commune avec le parallélogramme
Il suffit de couper le triangle suivant une parallèle à la base commune à mi-chemin entre le sommet et la base, puis de tracer en partant du sommet une parallèle à l'autre côté du parallélogramme.
 

 

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Transformer un parallélogramme en un autre parallélogramme de même aire

Premier cas

les deux parallélogrammes ont une base commune, même hauteur et les deux autres côtés se chevauchent.
Il suffit d'une seule coupe que l'on translate.

                                                    

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Deuxième cas

les deux parallélogrammes ont une base commune, même hauteur et les deux autres côtés ne se chevauchent pas.
On reporte le second sur le premier et on trace des lignes de coupe parallèles aux côtés inclinés.
Il suffit alors de translater les coupes pour transformer le premier parallélogramme en le second.

 

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Troisième cas

les deux parallélogrammes n'ont pas de base commune.
On construit un parallélogramme intermédiaire ayant un côté commun avec chacun des deux.
On les fait se chevaucher. Un côté du second s'appuie sur 2 côtés opposés du premier.
Lorsqu'on a une base commune, les hauteurs relatives à cette base sont de même mesure car les deux parallélogrammes ont même aire.

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Transformer un polygone en un triangle de même aire

On peut réduire le nombre de côtés d'un polygone pour obtenir un triangle de même aire. On délimite un triangle avec 3 sommets voisins.
On le découpe pour former un autre triangle (de même hauteur relative à la base commune) dont l'un des côtés prolonge un des deux côtés voisins du polygone.
Ci-dessous on voit le découpage d'un quadrilatère en un triangle.
Pour un polygone quelconque, il suffit... de recommencer le procédé sur les autres côtés.

 

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De façon générale

Deux polygones de même aire étant donnés, on peut les découper pour les transformer en deux triangles.
Ces triangles peuvent alors être transformés en parallélogrammes ayant même base, comme nous l'avons vu ci-dessus.
Les deux parallélogrammes sont ensuite transformés l'un en l'autre, comme nous l'avons également vu.
Enfin par superposition de tous ces découpages, on arrive à transformer un polygone en un autre.

Cependant, le nombre de pièces est en général très grand. Aussi sera-t-il intéressant de tirer profit des cas particuliers.
Nous verrons par exemple comment en utilisant le théorème de Pythagore, on peut travailler simplement sur des transformations de carrés.