SOLUTION et explications

La seule condition "avoir deux côtés opposés parallèles et de même longueur" n'est pas suffisante.

Si nous avons l'hexagone ABCDEF, tel que le côté AB soit parallèle et de même longueur que le côté ED, il faut de plus que le vecteur AB soit égal au vecteur ED. Par ailleurs le polygone ne doit pas être croisé.

Cas particulier : si l'hexagone non croisé a deux couples de côtés opposés parallèles et de même longueur
avec deux vecteurs (constitués de deux de ces côtés) opposés, il est paveur.

Nous obtenons alors un pavage de type P2, selon la nomenclature des cristallographes, (translations et rotations de 180°), dont voici un exemple ci-dessous obtenu avec le premier cas de l'animation précédente :

Le deuxième exemple de l'animation fournit des hexagones qui ne permettent pas de paver.
Ces hexagones vérifient la propriété proposée MAIS les vecteurs AB et ED sont opposés.
Il y aura toujours une superposition lors des essais de pavage.
Voir l'explication de Diophante ICI

La condition dans un hexagone non croisé ABCDEF, est SUFFISANTE pour obtenir un pavage du plan. Cependant elle n'est PAS nécessaire.

Le troisième exemple (Hexagone P3) de l'animation fournit le cas d'un hexagone ayant trois angles de 120°
et les côtés de ces angles de même mesure de longueur (deux à deux).
Ce cas donne un pavage de type P3, avec une légère impression de relief.

Ce pavage est réalisable parce que la somme des angles d'un hexagone est de 4x180° soit 720°.
Il suffit de juxtaposer les angles analogues de 120° des différents hexagones.
Ensuite, juxtaposer les trois autres angles de somme 120° correctement.
Nous utilisons donc des rotations d'un tiers de tour et obtenons un pavage de type P3.

Voici un exemple de ce pavage obtenu avec le troisième exemple (Hexagone P3) de l'animation précédente :

Sur une proposition de Pierre, nous allons construire un hexagone paveur en partant d'un quadrilatère quelconque.

Un quadrilatère quelconque permet de construire un pavage de type P2.
On dédouble deux sommets opposés à l'aide de segments parallèles et égaux.
On obtient ainsi un nouveau pavage, où le pavé est un hexagone, dont deux côtés opposés sont parallèles et égaux et dans le 'bon sens'.

On peut expérimenter avec l'animation suivante.
Il suffit de déplacer le point ROSE en bas à droite de l'écran pour construire un vecteur qui permet de dédoubler deux sommets du quadrilatère.
On peut modifier à volonté le quadrilatère initial ainsi que le vecteur.

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