Une pyramide bizarre penchée à base non triangulaire

Problème et observations
Une piste de recherche
Une procédure de construction
Procédure interactive
Cas du tétraèdre

Le problème

Construire une pyramide avec son patron, pas aussi belle que celle de Chéops ou du Louvre
mais une penchée comme dans l'animation.

Exercez-vous d'abord avec un tétraèdre, c'est à dire une pyramide à base triangulaire
(un triangle particulier ou quelconque... peu importe). Facile...

Ensuite construire une pyramide penchée à base carrée ou rectangulaire.
C'est plus difficile... elle doit bien se refermer.

Enfin en construire une dont la base est un quadrilatère convexe quelconque.

.

.Observez et expérimentez avec la deuxième animation :
visualisez votre solide et modifiez-le en déplaçant les points mentionnés.

Expérimentons et observons


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Une première piste

Le patron est constitué d'un rectangle entouré de quatre triangles.
Les sommets de chaque triangle doivent se projeter en un seul et même point.
Chaque arête se dédouble en deux côtés qui doivent avoir la même longueur.
La projection de chaque sommet du triangle,
se fait sur la hauteur issue de ce sommet.
Il faudra donc respecter les contraintes de longueur et de projection.

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Une procédure pour la construction d'une pyramide penchée à base rectangulaire
.Choisissons par exemple le point de projection : aplomb du sommet.
On dit que ce point a deux degrés de liberté car on peut le choisir dans le plan.
Traçons alors les perpendiculaires aux côtés du rectangle issues de ce point de projection.
.Ensuite choisissons le sommet d'un des triangles. Il n'a qu'un degré de liberté :
on doit le choisir sur l'une des perpendiculaires précédentes.
.On termine facilement la construction de ce premier triangle.
La fin de la construction se fait en reportant les longueurs adéquates à l'aide d'un compas sur une feuille.

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On peut procéder autrement :
-D'abord choisir un sommet S1 (deux degrés de liberté).
-De S1 abaisser la perpendiculaire (D) sur le côté [AB].
-Choisir un point Proj sur cette droite (D) et tracer à partir de Proj la perpendiculaire au côté [AD].
Terminer la construction en respectant les contraintes de longueur.

On peut aussi procéder ainsi :
-Choisir un sommet S1 (deux degrés de liberté).
-Tracer le cercle de rayon S1A, choisir S2 sur ce cercle.
-Tracer le cercle de centre D et de rayon S2D.
-Tracer la perpendiculaire à la droite (D) menée de S2.
Marquer éventuellement l'aplomb de la projection Proj.
Terminer le patron en respectant les contraintes de longueurs.


Animation de la construction du patron pas à pas

L'animation ci-dessous montre pas à pas la construction à la règle et au compas du patron d'une pyramide penchée à base rectangulaire.

utiliser les flèches en bas à drotie de l'animation pour le contrôle.
On peut voir la construction en mode MANUEL ou AUTOMATIQUE : boutons du bas à gauche.
A la fin de la construction, déplacer les points S1 (le sommet de la pyramide).
OU Proj (point de pojection sur le plan de base du sommet de la pyramide).

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Une procédure interactive pour une pyramide penchée

La base est cette fois un quadrilatère quelconque. On utilise la procédure de l'animation Flash précédente.
En gris clair sont tracées les perpendiculaires aux côtés du quadrilatère de base.
Ces perpendiculaires sont issues de la projection Proj (deux degrés de liberté).
Le point S1 est choisi arbitrairement sur la perpendicualire à (AB) (un degré de liberté).

Dans l'animation suivante, on peut déplacer les points C et D,
mais aussi le point de projection Proj et enfin le point S1 sur la perpendiculaire issue de Proj.
Ces déplacements ne sont possibles que lorsque le solide est ouvert avec son patron.
Lorsqu'un point "saute" et revient dans la position précédente, c'est qu'on est passé par une position impossible.

Le bouton FERMER permet de voir le solide se refermer.

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Une procédure interactive pour le cas particulier du tétraèdre penché

Nous retrouvons ci-dessous la même procédure avec une base triangulaire.
Cette pyramide penchée à base triangulaire ne présente aucune difficulté pour en obtenir le patron.
Il suffit de construire des arêtes de la longueur désirée de proche en proche.
Dans l'animation suivante, on peut déplacer les points C, Proj et S1 (sur la perpendiculaire issue de Proj),
uniquement quand le solide est ouvert avec son patron.
Lorsqu'un point "saute" et revient dans la position précédente, c'est qu'on est passé par une position impossible.

Le bouton FERMER permet de voir le solide se refermer.

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