Un rayon lumineux entre deux miroirs...

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Le problème

Deux miroirs forment un angle modulable.
Un rayon lumineux arrive sur l'un d'entre eux et se réfléchit pour rebondir sur l'autre miroir.

Déterminer le nombre de réflexions en fonction de l'angle des miroirs.



ANIMATION pour expérimenter et réfléchir

- Choisir l'angle du miroir avec le bouton adéquat.

- Choisir le mode de fonctionnement :
  On peut utiliser le mode NORMAL animation ou le mode Ultra RAPIDE.

  -> Dans le mode NORMAL, on peut modifier la vitesse avec le curseur vitesse.
      Ce mode permet de suivre pas à pas, à la vitesse souhaitée, le rayon lumineux.
      Cliquer le bouton GO pour lancer l'animation du trajet lumineux.
     
  -> Le mode RAPIDE donne instantanément le trajet du rayon lumineux.
      En modifiant l'angle avec les flèches du bouton, on obtient une autre animation donnant les trajets des rayons.

- Le bouton RAZ, réinitialise le tout.

- A tout instant on peut STOPPER et RELANCER l'animation du trajet lumineux..

- Le bouton RAZ, réinitialise le tout.

Ne pas hésiter en mode RAPIDE à cliquer continument sur les flèches du bouton de choix de l'angle des miroirs.

ANIMATION pour conclure et comprendre

- Cette animation, démontre le résultat visuellement.

- Le fonctionnement de cette animation est le même que celui de la précédente.

Cependant, nous avons tracé des rayons qui ont toujours deux à deux le même angle θ que celui des deux miroirs.

Nous avons ensuite, construit les symétriques des trajets réfléchis par rapport à chacun de ces rayons.
On peut imaginer dans l'idéal, des "écrans-miroirs" qui donnent simplement le reflet du trajet réfléchi.

Enfin chaque reflet, se termine sur la ligne horizontale partant du point lumineux.
On s'arrête alors, puisque le 'rayon' lumineux part à l'infini à gauche.


Dans l'animation et le schéma suivants

Chaque segment réfléchi, est colorié avec la même couleur que ses symétries par rapport aux différents rayons.
Les symétriques sont tracés en pointillé.
Le segment final, horizontal est tracé en trait plein comme le trajet initial.

L'égalité des segments de même couleur est simplement due aux propriétés de la symétrie qui est une isométrie (conserve les longueurs).

Le schéma traduit la construction pour un angle θ = 27°.

Chaque nombre indique le n° de chaque réflexion.

Ici nous avons 6 réflexions correspondant au nombre de rayons 'coupés'.

 

 

CLIQUER

RÉSULTAT

L'étude des symétries par rapport aux différents rayons faisant entre eux le même angle que celui des deux miroirs rend le résultat évident.

Nous notons que chaque réflexion, correspond à une intersection entre la droite horizontale partant de la lumière, avec les rayons du cercle tracé.
Ce nombre d'intersections ou nombre de rayons 'coupés' est égal à la valeur entière du quotient de 180° par la mesure de l'angle des deux miroirs.

Quand la mesure de l'angle θ divise 180°, il faudra enlever 1 unité (problème des intervalles).

Ainsi, en notant E(x) la partir entière du nombre x, le nombre de réflexions pour un angle θ = donné est :
- si θ est en degrés :
E(180/θ ) si la division de 180 par angle θ ne tombe pas juste, sinon c'est 180/θ-1.

- si θ est en radians :
E(π/θ ) si la division de 180 par angle θ ne tombe pas juste, sinon c'est π/θ-1.

 

EXEMPLES

- pour 30°, nous avons 180/30 - 1 = 5 réflexions
- pour 27°, nous avons E(180/27) = 6 réflexions