PLACEMENTS

Il est d'usage de considérer que placer de l'argent rapporte des intérêts. Disons de manière théorique car la réalité est parfois tout autre. Restons dans la théorie. Un certain capital initial C (en euros) est placé à un taux annuel T (en %) pendant une durée A (en année). Que se passe-t-il ? Au bout d'un an, le capital est C1 = C*(1+T). Au bout de deux ans, le capital est C2 = C1*(1+T) = C*(1+T)*(1+T).

Au bout de A ans, le capital est C_A = C*(1+T)*(1+T)* … *(1+T) .

Le capital a été multiplié A fois par (1+T).
On obtient la formule :
C_A = C*(1+T)^A formule des intérêts composés

La différence C_A– C correspond aux intérêts et le fisc s'y intéresse !

De manière un peu moins simple, en plus d'un capital initial on souhaite apporter chaque mois une somme supplémentaire M (mensualité en euros).

Dans l'animation PLACEMENTS l'outil proposé la durée (notée D) s'exprime en mois et les calculs se font avec le taux mensuel (noté U). Comme le font les banquiers on choisit U = T / 12, alors que, en toute rigueur, on a : (1+U)¹² = 1+T (pour T inférieur à 10% les écarts sont très minimes).

On obtient la formule pour le capitalC_D au bout d'une durée de D mois  :

C_D = C * (1+U)^D + M * ((1+U)^D – 1) / U

qui exprime le capital C_D obtenu après D mois de placement et, chaque mois, l'ajout de M euros.

Si on n'ajoute rien (M = 0), on retrouve la toute première formule. Si l'apport initial est nul (C = 0), on trouve une autre formule simplifiée.

Exemple 
Quel capital aurai-je dans cinq ans, en plaçant 1 000 euros à 2,5 % et en ajoutant 50 euros chaque mois ?
Réponse : 4 326 euros

Rappel : Le taux annuel est le rapport entre le montant des intérêts et le capital placé pendant un an.

 

EMPRUNTS

Comme précédemment, restons dans la théorie. Un certain capital C (en euros) emprunté à un taux annuel T (en %) doit être remboursé par mensualités M (en euros) constantes, pendant une durée D (en mois). Que se passe-t-il ? A la fin du premier mois, l'emprunteur verse la somme M qui correspond aux intérêts I1 du capital relatifs au mois écoulé et une partie du capital.

On a : I₁ = C*U et le capital restant est C₁ = C – C*U = C*(1 – U)

A la fin de chacun des mois suivants, on recommence. Ainsi, les intérêts versés diminuent et la partie du capital remboursée augmente.

On obtient la formule fondamentale

M = C * U / [1 – 1 / (1+U)^D ]

imprimée dans tous les bons livres de mathématiques financières.

Elle permet de calculer la valeur d'une des quatre variables C, U, M ou D en fonction des valeurs des trois autres.

Exemple 
Quel sera le montant des mensualités, si j'emprunte 4 000 euros à 3,5 %, sur quatre ans ?
Réponse : 89.42 euros

 

DES NOISETTES pour une RENTE

Pour obtenir une rente temporaire, un épargnant peut confier ses noisettes à son banquier : c'est-à-dire un certain capital C (en euros), à un taux annuel T (en %), pour qu'il verse à l'épargnant des mensualités constantes M (en euros). Si cette valeur M est inférieure au rapport mensuel R du capital, ce capital va continuer à augmenter (évidemment moins vite que si on ne prélevait rien).

Si on prélève exactement la somme R (qui vaut K*U), le capital n'augmente pas mais ne diminue pas : il reste constant.

Enfin, si on prélève plus que ce que le capital rapporte, on mange ses noisettes et ça ne peut pas durer indéfiniment.

Peut-on prévoir à quelle échéance, on n'aura plus de réserve ?

Peut-on calculer le montant des prélèvements à effectuer, si on se fixe a priori une échéance pour épuiser le capital ?

Voici les réponses à ces questions.
On note :
C le capital initial ;
T le taux de rendement annuel ;
M la somme prélevée chaque mois et
N le nombre de mois écoulés depuis le début des prélèvements.

Notons C_N le capital qui reste à la fin du N-ième mois, alors qu'on a prélevé la somme M en début de ce même mois.

On a la relation C_N = (C_N-1 – M) * (1 + U) qui exprime que le capital restant a été multiplié par (1 + U), où U est le taux de rendement mensuel.

Avec un peu de technique calculatoire, on obtient la formule :

C_N = C * (1+U)^N – M * (1+U) * ( (1+U)^N – 1) / U

Le capital est épuisé lorsque C_N vaut 0.

D'où la formule :

C * (1+U)^N = M * (1+U) * ((1+U)^N – 1) / U

qui lie les variables C, M, U et N et permet de calculer la valeur de l'une en fonction des valeurs des trois autres.

Exemple 
Quel sera le montant des mensualités que je percevrais, si je mange un capital de 120 000 euros placé à 2,75 %, sur 10 ans ?
Réponse : 1 142,31 euros

RETOUR sur les EMPRUNTS

Lors du remboursement d'un emprunt les premières mensualités servent avant tout à payer les intérêts du capital emprunté.
Ainsi, si pour une raison quelconque le remboursement doit s'interrompre, il va rester beaucoup de capital à rembourser.

Ne pourrait-on pas convenir que chaque mensualité versée correspond au remboursement d'une partie du capital et des intérêts afférents à cette seule partie pour la durée correspondante ?

Ainsi, le capital remboursé le premier mois serait M/(1+U) ; le capital remboursé le deuxième mois serait M/(1+U)² ; etc.

Tout se passe alors comme si on avait contracté simultanément D emprunts à rembourser chacun en une fois ; le premier au bout d'un mois, le ième au bout de i mois, le dernier au bout de D mois.

Pour la valeur de M, tous calculs faits, on obtient la formule :

M = C * U / [1 – 1 / (1+U)^D ]

Cette formule est exactement la même que celle obtenue précédemment.

Autrement dit, cette deuxième manière de voir les choses est totalement équivalente à la précédente.

En outre, en cas d'interruption du contrat, le capital restant à rembourser sera le même aussi. En effet, il faut calculer puis additionner, pour chacun des emprunts partiels, la part de capital restant due.

EN CONCLUSION

Les trois outils proposés doivent vous permettre de contrôler les informations fournies par votre banquier ou que vous trouverez sur internet.

Attention, souvent pour un emprunt en plus du taux annuel annoncé il est fait mention d'un taux pour l'assurance.
Dans ce cas il faut ajouter les deux taux.

Attention, refusez de payer des mensualités doubles pendant un temps moitié. Ce serait accepter un taux environ le double de celui de la proposition initiale.
Par exemple : au lieu de rembourser 4 000 euros à 3,5 %, avec des mensualités de 89,42 euros sur 48 mois, il ne faut pas accepter de verser 178,84 euros pendant 24 mois car ce correspondrait à un taux de 6,86 %.

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