Le problème

Percer des trous carrés est un défi.
Est-il possible de faire des trous carrés dans une plaque avec une perceuse spéciale ?

Existe-t-il un appareil qui en générant une rotation continue autour d’un axe permette une projection nette d'images ?
Chaque image doit rester un moment immobile, tandis que la transition d’une image à l’autre doit se dérouler dans un temps beaucoup plus court. 

SOLUTION

On trouve mention de ce triangle dans les travaux de Léonard de Vinci (ci-contre à gauche), ou dans les fenêtres de la cathédrale Saint-Sauveur de Bruges (ci-contre à droite). Leonhard Euler (1707-1783) a étudié ces formes qu’il nommait «orbiforme ».

Périmètre et aire du triangle de Reuleaux

Si R est le côté du triangle équilatéral tracé dans le Reuleaux,
on voit que le périmètre du Reuleaux est égal à la moitié du périmètre du cercle de rayon R
(nous avons trois arcs de 1/6ème de tour : chacun de 60°).

L'aire est égale à celle de trois sixièmes d'un disque de rayon R, moins deux fois celle du triangle équilatéral.
Nous trouvons donc une aire de .

Cette aire est de façon évidente plus petite que celle du disque de rayon R qui est de πR².
La construction d'un triangle de Reuleaux est ainsi plus économique en matière première que celle d'un disque de même diamètre.

Dans les trois animations qui suivent, ne pas hésiter à modifier les couleurs avec les boutons couleur du bas de chaque écran.

Voici pas à pas, la construction animée de ce triangle.

Utiliser les boutons fléchés pour faire avancer l'animation.
Moduler éventuellement la vitesse avec le curseur en bas de l'animation.

On peut utiliser le mode MANUEL ou bien AUTOmatique avec les boutons adéquats.

Les gros points sont manipulables lorsqu'ils sont visibles en mode MANUEL.

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Le triangle de Reuleaux roule entre deux parallèles ET tourne dans un carré.

Une particularité de cet objet est que sa largeur est constante.
On parle de diamètre constant quelle que soit son orientation.
Ce diamètre est égal au côté du triangle équilatéral de base ayant servi à sa construction.

Une propriété importante d'un triangle de Reuleaux apparaît : on peut le faire rouler entre deux parallèles.
Dans ce cas le centre de gravité du triangle de Reuleaux décrit une courbe périodique.
Les sommets du triangle décrivent une cycloïde, lieu d'un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite
Cf la cycloïde à la fin de ce document.

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MIEUX encore : on peut le faire tourner dans un carré.
En tournant sur lui-même, il trace un carré à bords arrondis (elliptiques).
Une conséquence pratique est la possibilité de construire une perceuse qui pourra fabriquer des trous presque carrés.
L'usure en fera un carré parfait...

Dans l'animation suivante, cliquer le bouton TOURNER pour lancer la rotation du triangle de Reuleaux.
On peut ensuite la stopper avec le bouton STOP.

Ensuite demander les différentes TRACES proposées et notamment celles des sommets du Reuleaux pour voir la trace presque carrée,
que laissera ce triangle.

Moduler éventuellement la vitesse avec le curseur en bas de l'animation.

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Voici une perceuse utilisant le principe précédent. Il suffit que cette perceuse aie une section similaire au triangle de Reuleaux. Il nous faut une mèche en forme de triangle de Reuleaux. Cette mèche doit tourner dans un carré dont le côté a la même mesure que le côté du triangle équilatéral servant à construire le triangle de Reuleaux. Pour faire tourner le triangle, l'articulation est réalisée avec un joint de Cardan (de son inventeur Jérôme Cardan (1501-1576). Cette articulation est utilisée également pour relier une remorque à un camion. Les coins obtenus sont légèrement arrondis, en prolongeant les côtés on obtient un carré parfait.

Une application : le projecteur d'images, russe (Luch-2) utilisant un triangle de Reuleaux

Dans ce projecteur, l'image reste visible et immobile pendant les 5/6èmes d'un tour et la transition dure 1/6ème de tour.
Cette fois le triangle de Reuleaux tourne autour d'un de ses sommets.
Il reste toujours à l'intérieur d'un carré dont le centre n'est pas fixe.
Ce centre parcourt un carré, à bords arrondis, superposable à celui décrit par le pointeur (le pointeur est un point translaté du centre du carré).

Moduler éventuellement la vitesse avec le curseur en bas de l'animation.

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Dans l'industrie : le moteur Wankel

C'est un moteur à piston rotatif inventé par Félix Wankel autour de 1950.
Il utilise trois chambres de combustion dont les volumes varient avec la rotation du triangle de Reuleaux, à l'intérieur d'une pièce dont la forme est définie mathématiquement par une épitrochoïde.

On retrouve les différentes étapes d'un moteur à quatre temps : admission, compression, allumage et explosion quand la compression est maximale puis échappement.

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Ce moteur fonctionne avec un mélange d'air et d'essence.
Il est arrivé sur le marché au moment du premier choc pétrolier en 1973, et n'a malheureusement pu combler son manque d'expérience face à des moteurs classiques.
Son concept est séduisant et efrficace, il est aussi silencieux, mais sa consommation est excessive.
Aussi Citroën puis Peugeot ont abandonné les recherches sur ce moteur.
Pourtant la Mazda 787B a remporté les 24 heures du Mans avec un prototype Wankel qui a été interdit sous la pression d'autres constructeurs.

D'autres applications

Pourquoi les plaques d'égout sont-elles presque toujours rondes ?

 

Cela provient d'une propriété mathématique : une largeur constante empêche la plaque d'égout de tomber accidentellement dans le trou.   Plus généralement, une forme géométrique ne «tombe pas dans le trou » si pour tout point du bord, la distance maximale à un autre point du bord est toujours la même. Pour un disque, cela fonctionne, mais existe-t-il d'autres formes ayant cette prropriété ? Oui, lorsqu'on a besoin de formes rondes, donc de diamètre constant, nous ne sommes pas obligés d'utiliser le cercle, la sphère ou le cylindre. Le triangle de Reuleaux fonctionne parfaitement. Ainsi il existe à San Francisco des bouches d'égout originales utilisant le triangle de Reuleaux. Ci-contre, des plaques d'égout au carrefour de 4th Street et Channel Street en face du China Basin à San Francisco.

 
Tout comme il existe des triangles de diamètre constant, il existe d'autres polygones réguliers ayant cette propriété.
Ceux ayant un nombre impair de côtés : pentagones, heptagones, etc. peuvent avoir un diamètre constant.

Des pièces de monnaie utilisent aussi ce triangle courbe (pratique pour la reconnaissance dans un distributeur automatique).

Par exemple, la pièce de 50 pence anglaise est un heptagone de Reuleaux.

Si l'on juxtapose plusieurs triangles de Reuleaux, la distance entre leurs centres reste constante.

On peut alors les faire tourner l'un sur l'autre...
Les possibilités d'utilisation sont nombreuses.

La courbe mathématique qui se cache derrière le triangle de Reuleaux

L'épitrochoïde est une courbe plane, correspondant à la trajectoire d'un point fixé à un cercle mobile qui roule sans glisser sur et autour d'un autre cercle dit directeur.


Observer l'évolution de l'épitrochoïde dans l'animation suivante.
Suivre son évolution quand les paramètres changent : rayons des cercles Fixe et Tournant, position du point à tracer (angle et rapport au rayon), et enfin le rapport dans les angles de rotation.

Ne pas hésiter à modifier les couleurs au cours du tracé.

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Essayer de trouver la courbe correspondant au moteur Wankel.

Et la cycloïde entre les deux parallèles

Où l'on retrouve maintenant la valve d'une roue.

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Une bien jolie couverture

Il s'agit du casse-tête D403 de Diophante.fr Novembre 2017 :
Trouver le triangle d'aire minimale qui couvre n'importe quel triangle dont les longueurs des côtés n'excèdent jamais la valeur 1.

L'animation suivante prmet de comprendre comment petit à petit on trouve et essaie d'améliorer une solution.

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Pour en savoir plus : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89pitrocho%C3%AFde
Ici une vidéo avec une bicyclette dont les roues sont des triangles de Reuleaux :
https://www.youtube.com/watch?v=BeOS9pG6vjU&feature=youtu.be

Et d'autres explications ici :
https://www.youtube.com/watch?v=quuw4HC96bE