Visualiser la somme des cubes des entiers
Voir aussi mon autre animation pour la même formule

La somme des cubes des entiers est égale au carré de la somme de ces entiers

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 +... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n ) 2

Si l'on décompose correctement le cube de chaque entier, nous pouvons retrouver facilement la somme des cubes de différents entiers.
Découvrons d'emblée les résultats sur l'animation ci-dessous : le volume de chaque cube est égal à l'aire d'une zone colorée dans le même ton.

 

CLIQUER

 

Michael Hirschhorn avait publié cette "Proof without words" dans American Mathematical Monthly dans les années 1990. Il semble qu'elle soit dans le 4^ème tome des Récréations mathématiques d'Edouard Lucas, publié en 1894 (fig 35 et fig 42) et réédité chez Blanchard.
Retrouvez de très beaux casse-tête et puzzles sur ce thème à l'adresse : http://www.cassetete.org/archives/date/2007/11

Voyons maintenant pourquoi l'aire de chaque zone colorée correspond bien au volume d'un cube.

Nous connaissons la somme des entiers naturels de 1 à n avec la formule
1+2+3+4+...+n = n(n+1)/2

Nous en déduisons que pour chaque valeur de l'entier n :
n² + 2 n[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n - 1)] = n² + 2 n [(n - 1)n]/2
n² + 2 n[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n - 1)] = n² + 2 n (n² - n )/2
n² + 2 n[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n - 1)] = n² + n (n² - n )
n² + 2 n[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n - 1)] = n² + n³ - n²
n² + 2 n[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n - 1)] = n³

 

Exemple animé avec 4³

 

CLIQUER

 

Exemple animé avec 3³

CLIQUER

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 +... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n ) 2

Cette démonstration figure déjà dans le 4^ème tome des Récréations mathématiques d'Edouard Lucas, publié en 1894 (fig 35 et fig 42). (réédité chez Blanchard). Voici quelques extraits de cet ouvrage.