Gagner contre le hasard

Le problème n° G149 de diophante.fr

Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d'une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2016, b1 <=b2 <= b3 écrits par Zig
et a1 <= a2 <= a3 écrits par Puce.
Puis ils comparent les six nombres: a1 à b1 puis a2 à b2 et enfin a3 à b3. Le joueur dont deux de ses nombres sont strictement plus élevés que ceux de l'adversaire gagne la partie. A défaut la partie est déclarée nulle.
A chaque partie, Puce fait confiance à un programme informatique qui génère aléatoirement les trois entiers a1,a2 et a3.
Zig à l'inverse choisit ses trois entiers b1,b2 et b3 afin d'optimiser ses chances de gain et fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d'entiers.
Démontrer que l'espérance mathématique du nombre de parties gagnées par Zig est au moins égale à 75.

SOLUTION animée

Dans l'animation suivante, le grand triangle coloré représente toutes les possibilités pour les couples (a1<=a2) de Puce
avec a1<=a2<=a3 et a1+a2+a3=2016.

Pour le jeu au hasard de Puce, x représente a1 et y représente a2.
De la même façon pour Zig qui veut vaincre le hasard avec (b1,b2 et b3), x représente b1 et y représente b2.

La droite y=x limite à sa gauche
les couples (a1,a2) tels que a1<=a2.

La droite y=1008-x/2 limite en dessous
les couples (a1,a2) tel que a1<=a2 et a3=2016-a1-a2 >a2 :
en effet a3>=a2 implique 2016-a1-a2>=a2 soit 2a2=<2016-a1 et donc a2=<1008-a1/2

(b1,b2) sont les coordonnées de Zig.

La droite d'équation y = -x+(b1+b2) parallèle à la droite (en pointillé oblique) y=-x+1008
limite selon les valeurs b1 et b2,

a3<b3 SOIT b1+b2 < a1+a2

Ainsi les points à coordonnées entières des régions vertes permettent à Zig de gagner
puisque deux au moins de ses nombres seront plus grands que ceux correspondant dans le jeu de Puce :

a1<b1 et a2<b2 OU
a1<b1 et a3<b3 OU
a2<b2 et a3<b3

CLIQUER

 

 

Résultats

La lunule grisée juste en dessous de la droite d'équation y=1008-x/2 donne les couples d'entiers (a1,a2) solutions du problème.
Il suffit de déplacer le point Zig avec la souris ou au clavier (après avoir cliqué au moins une fois dans le cadre avec la souris) pour vérifier les pourcentages de réussite de chaque point Zig.

Près de Zig, les coordonnées sont arrondies au centième par excès.
En bas de l'animation beaucoup plus de décimales sont affichées.

On compte 2310 solutions à coordonnées entières dont le pourcentage de chances de gagner contre Puce est supérieur ou égal à 75%.
Pour plus de détails voir le fichier de résultats :
en format pdf ICI
et le fichier solution de Diophante :
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/g-probabilites/g1-calcul-des-probabilites/3591-g149-gagner-contre-le-hasard