La animación El secreto del recortado Teorema general

 

La animación

Henry Dudeney (1857-1930) descubrió una ingeniosa transformación de polígonos suspendidos. Expuso un modelo de ellos en caoba ante la Royal Society de Londres en 1905. Se trata de transformar 4 piezas agrupadas de un triángulo equilátero en un cuadrado del mismo área.

La animación aquí debajo muestra la transformación.

 

 

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El secreto del recortado

Tomemos un triángulo equilátero ABC de lado BC=2 para simplificar. Su área es (1/2)(2)(2/2) =
El cuadrado del mismo área tendrá pues un lado que mida es decir raíz cuarta de 3 (o raíz de (raíz de 3)).
En la figura aquí debajo, será [RS]  lo que vamos a explicitar.

Construcción :

Sean D y R los puntos medios de los lados [AB] y [AC]. Sea O el simétrico de A con respecto a (BC). Tenemos OA = 2(2/2) = 2. OB = AB =2  Simetría de O y de A con respecto a  (BC) Tracemos el círculo de centro O que pasa por B. OP = OB = 2 Sea Q el punto medio de [AP] Tracemos el círculo de centro Q que pasa por A.  OA = 2,   por tanto  AP = 2 + 2  y  QP = 1 + = O1Q OQ = QP - OP = 1 + - 2 = - 1 Sea (OO1) la paralela a (BC). I punto medio de [OO1], entonces OI es la longitud deseada . Por Pitágoras se tiene que : O1Q2 = OQ2 + OO12 OO12 = O1Q2 - OQ2 OO12 = ( + 1 )2 - ( - 1 )2 OO12 = 4. Así pues  OO1 =2 . Finalmente OI =

 

Teorema general 

Dados dos polígonos cuyas áreas son idénticas, existe un recortado de un de ellos en un número finito de polígonos que permite recubrir exactamente el segundo sin desajuste.

El principio general de base consiste en recortar cada una de las dos figuras en triángulos.
En efecto
Para todo par de triángulos del mismo área, existe un recortado que permite pasar de uno al otro y viceversa.

Para la demostración, ver
http://bayledes.free.fr/decoupage/index.html