Henry
Dudeney (1857-1930) descubrió una ingeniosa transformación de
polígonos suspendidos. Expuso un modelo de ellos en caoba
ante la Royal Society de Londres en 1905. Se trata de transformar
4 piezas agrupadas de un triángulo equilátero en un cuadrado
del mismo área.
La
animación aquí debajo muestra la transformación.
HAZ
CLIC
El
secreto del recortado
Tomemos
un triángulo equilátero ABC de lado BC=2 para simplificar. Su
área es (1/2)(2)(2/2)
= El cuadrado del mismo área tendrá pues un lado que mida
es decir raíz cuarta de 3 (o raíz de (raíz de 3)).
En la figura aquí debajo, será [RS]
lo que
vamos a explicitar.
Construcción
:
Sean
D y R los puntos medios de los lados [AB]
y [AC]. Sea O el simétrico de A con
respecto a (BC).
Tenemos
OA = 2(2/2)
= 2. OB = AB =2 Simetría
de O y de A con respecto a (BC)
Tracemos
el círculo de centro O que pasa por B.
OP = OB
= 2
Sea
Q el punto medio de [AP]
Tracemos el círculo de centro Q que pasa por
A.
OA
= 2,
por tanto AP = 2 +
2
y QP = 1 +
= O1Q
OQ = QP - OP = 1 +
- 2 =
- 1
Sea
(OO1) la paralela a (BC).
I punto medio de [OO1],
entonces OI es la longitud deseada .
Por Pitágoras
se tiene que :
O1Q2 = OQ2
+ OO12 OO12 = O1Q2
- OQ2 OO12 = (+1)2
- (
- 1 )2 OO12 = 4.
Así pues
OO1
=2 .
Finalmente
OI =
Teorema
general
Dados
dos polígonos cuyas áreas son idénticas, existe un recortado
de un de ellos en un número finito de polígonos que permite
recubrir exactamente el segundo sin desajuste.
El principio
general de base consiste en recortar cada una de las dos figuras
en triángulos.
En
efecto Para
todo par de triángulos del mismo área, existe un recortado que
permite pasar de uno al otro y viceversa.
La
animación
/2)
= 
es decir raíz cuarta de 3 (o raíz de (raíz de 3)).
