Le
problème : Toujours gagnant toujours perdant
Il s'agit du problème de Diophante
G1953****
:
Diophante met à la disposition de Zig six
dés (Dj, j = 1 à 6) ayant chacun 6 faces entièrement
blanches et un lot important de gommettes autocollantes portant les
numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Zig colle à sa convenance des gommettes sur les 6 faces de
chaque dé (une gommette par face) de sorte qu’il obtient
la même somme 21 des numéros inscrits sur les six faces.
Puce choisit alors un des six dés et Zig choisit un des cinq
dés restants. Ils lancent en même temps leur dé
mille fois. Celui qui obtient le plus grand numéro marque un
point, sinon match nul. Le gagnant est celui qui a marqué le
plus grand nombre de points.
Est-il vrai qu’en plaçant de manière adéquate
les gommettes sur les six dés, quel que soit le dé Dj
choisi par Puce, Zig sait trouver un dé Dk qui lui permet d’obtenir
plus de points que Puce à l’issue des mille lancers.
Justifiez votre réponse.
SOLUTION
et Démonstration puis
ANIMATION (version pdf ICI)
. Il faut configurer les dés, de
façon à ce que la probabilité que Zig gagne soit
supérieure à celle que Puce gagne
lorsqu’il choisit un dé donné.
En jouant 1000 fois de suite, la chance de gagner de ZIG sera sensiblement
égale à la probabilité :
La loi des grands nombres nous indique que si un dé a une probabilité
de gain p>0,5 sur un lancer, la probabilité que ce dé
remporte le plus de points sur 1000 lancers tend vers 1 (100 %).
. Quel que soit le dé choisi par
Puce, Zig doit trouver un dé donnant une probabilité
plus forte de gagner.
C’est assez contreintuitif. En effet appelons les dés,
A, B, C, D, E, F.
Notons A<B le fait que la probabilité de gagner avec B soit
meilleure que celle de A.
Alors par exemple :
A < B ; B < C ; C < D ; D < E ; E < F
Et si Puce choisit F, on a l’impression que Zig n’a à
sa disposition que des dés plus faibles que celui de PUCE.
Pour que Zig puisse gagner, la relation ci-dessous ne doit pas être
transitive !
Or cette relation n’est pas transitive.
Exemple
avec 3 sortes de dés :
Deux dés de la configuration
A :
(1, 4, 4, 4, 4, 4)
(1, 4, 4, 4, 4, 4)
|
Deux dés de la configuration
B :
(3, 3, 3, 3, 3, 6)
(3, 3, 3, 3, 3, 6) |
Deux dés de la configuration
C :
(2, 2, 2, 5, 5, 5)
(2, 2, 2, 5, 5, 5) |
. Puce choisit un dé A
-- si Zig joue B, il gagne si :
Puce joue 1, Zig joue ou 3 ou 6
Puce joue 4, Zig joue 6
Probabilité que Zig gagne :
1/6 * 1 + 5/6 * 1/6 =11/36 ~ 30.55% < 0.5
Zig n’aucune chance en 1000 jeux.
- si Zig joue C, il gagne si :
Puce joue 1, Zig joue ou 2 ou 5 peu importe
Puce joue 4, Zig joue 5
Probabilité que Zig gagne :
1/6 * 1 + 5/6 * 3/6 = 21/36 ~ 58.33% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
|
.Puce choisit un dé
B
-- si Zig joue A, il gagne si :
Puce joue 3, Zig joue 4
Puce joue 6 Zig perd
Probabilité que Zig gagne :
5/6 *5/6 + 1/6 * 0 = 25/36 ~ 69.44% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
-- si Zig joue C, il gagne si :
Puce joue 3, Zig joue 5
Puce joue 6, Zig joue 5
Probabilité que Zig gagne :
5/6 * 3/6 + 1/6 * 0 = 15/36 ~ 41.66% < 0.5
Zig n’aucune chance en 1000 jeux. |
. Puce choisit un dé
C
-- si Zig joue A, il gagne si :
Puce joue 2, Zig joue 4
Puce joue 5 Zig perd
Probabilité que Zig gagne :
3/6 *5/6 + 1/6 * 0 = 15/36 ~ 41.66% < 0.5
Zig n’aucune chance en 1000 jeux.
-- si Zig joue B, il gagne si :
Puce joue 2, Zig gagne
Puce joue 5, Zig joue 6
Probabilité que Zig gagne :
3/6 * 1 +3/6 *1/6 = 21/36 ~ 58.33% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux. |
Nous avons donc : C>A ; A>B ; B>C
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Zig a d’autres possibilités
par exemple avec six dés A, B, C, D, E, F
A : (5, 5, 5, 2, 2, 2)
B : (4, 4, 4, 4, 4, 1)
|
C : (6, 3, 3, 3, 3, 3)
D : (5, 5, 3, 3, 3, 2)
|
E : (6, 4, 3, 3, 3, 2)
F : (3, 3, 3, 3, 4, 5) |
. Puce choisit le dé
A, alors ZIG gagne quand Zig joue C,
Puce joue 2, Zig 3 ou 6
Puce joue 5, Zig joue 6
Probabilité que Zig gagne :
3/6 * 6/6 + 3/6 * 1/6 = 21/36 ~ 58.33% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
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. Puce choisit le dé
B, alors Zig joue A,
Puce joue 4, Zig joue 5
Puce joue 1, Zig joue 5 ou 2
Probabilité que Zig gagne :
5/6 * 3/6 + 1/6 * 6/6 = 21/36 ~ 58.33% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
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. Puce choisit le dé
C, alors Zig joue B,
Puce joue 3, Zig joue 4
Puce joue 6, Zig perd
Probabilité que Zig gagne :
5/6 * 5/6 = 25/36 ~ 69.44% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
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. Puce choisit le dé
D, alors Zig joue B,
Puce joue 2, Zig joue 4
Puce joue 3, Zig joue 4
Puce joue 5, Zig perd
Probabilité que Zig gagne :
1/6 * 5/6 + 3/6 *5/6 = 20/36 ~ 55.55 % > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
|
. Puce choisit le dé
E, alors Zig joue B,
Puce joue 2, Zig joue 4
Puce joue 3, Zig joue 4
Probabilité que Zig gagne :
1/6 * 5/6 + 3/6 *5/6 = 20/36 ~ 55.55% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
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. Puce choisit le dé
F, alors
Zig joue B,
Puce joue 3, Zig joue 4
Puce joue 4 ou 5 Zig perd
Probabilité que Zig gagne :
4/6 * 5/6 = 20/36 ~ 55.55% > 0.5
ZIG a toutes chances de gagner sur 1000 jeux.
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ANIMATION : Vérification
en testant les six dés ci-dessus deux par deux.
Dans cette animation, les gains de
Puce sont notés en rouge, ceux de Zig en vert, et les égalités
sont notées en noir.
En
cliquant on télécharge l'animation qui est un fichier
exécutable : il s'agit d'un fichier 3D non pris en charge par
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