Transvasements dans la baignoire

Le problème

Prenons deux vases l'un de 5 litres et l'autre de 8 litres et une baignoire pleine d'eau. Comment mesurer une quantité d'eau déterminée à l'avance ? De 2 litres par exemple ?

Une méthode pratique pour résoudre le problème consiste à utiliser un billard en forme de parallélogramme. Ce parallélogramme a dans ce cas un côté de 8 unités et l'autre de 5 unités. Sur l'horizontale, on lit les quantités d'eau contenues dans le grand récipient de 8 litres et sur l'autre les quantités d'eau contenues dans le récipient de 5 litres.
La balle part du point noté (0,0) en bas à gauche. Sur le schéma ci-dessus on remplit d'abord le petit récipient, aussi la balle part sur le petit côté à gauche. On obtient 5 litres dans le petit récipient et 0 litre dans le grand : point (0,5).
La balle rebondit et arrive alors au point (5,0), on a vidé le petit récipient dans le grand : 0 litre dans le petit et 5 litres dans le grand.
Nouveau rebond, on remplit (en puisant dans la baignoire) le petit récipient pour obtenir 5 litres et on garde les 5 litres du grand. On est au point (5,5).
Rebond à droite, on remplit le grand avec le petit : le grand contient maintenant 8 litres et le petit 2 litres. C'est le point (8,2).
Ci-dessous vous allez pouvoir observer selon les capacités des récipients les différents parcours possibles.

La simulation


Ci-dessous entrez les contenances du petit puis du grand récipient. Ensuite choisir le vase à remplir en premier : petit ou grand.
Pour des raisons pratiques évidentes, ces nombres doivent respecter certaines limites.

 

Nous noterons que si les contenances des deux vases n'ont aucun diviseur commun autre que 1, nous pouvons obtenir toutes les quantités de 1 à celle du plus grand vase. L'explication peut être perçue en analysant le problème du billard rectangulaire, dans lequel une balle partant d'un coin rebondit sur les côtés de ce billard. Le problème est de savoir combien de cases la balle traverse avant de ressortir.

Avec trois récipients


Prenons maintenant trois récipients de 8 litres, 5 litres et 13 litres. Le troisième récipient a une contenance égale à la somme de celle des deux autres.
On remplit d'abord le grand récipient. Celui-ci remplace en quelque sorte la baignoire.On peut utiliser le parallélogramme précédent pour simuler la situation. Les couples de nombres sur les bords, seront simplement remplacés par des triplets dans lesquels le troisième nombre est le complément à 13 des deux premiers.

Le parcours simulé ci-contre devient : (0,0,0) puis (0,5,8) puis (5,0,8) puis (5,5,3) puis (8,2,3) etc. La somme des nombres égale 13 puisque c'est la quantité d'eau au départ.