Le cône et le cylindre

A voir si notre vie
Epouse ou non ta forme
Au long de la durée.
Mais dans quel sens alors ?
Pour toujours s'élargir ?
Pour toujours se fermer ?
... Le cône de Guillevic

 Développement du cône
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Attention à l'alcootest...Une coupe de champagne ?


Vous venez de boire une coupe de champagne conique remplie simplement à mi-hauteur.
Votre ami a complètement rempli et vidé sa coupe (même forme et même taille).
Quel est le rapport entre la quantité qu'il a bue et celle que vous avez vous-même bue ?

Deux ?
Non pas du tout ! Attention à l'alcootest c'est Huit !
La perception de certains rapports d'aires et de volumes est parfois trompeuse.
Le résultat est lié à la théorie des rapports dans les figures semblables.
Le rapport des aires est alors le carré du rapport des longueurs et celui des volumes
est le cube du rapport des longueurs.
Nous pouvons penser que le verre plein est un agrandissement du verre à moitié rempli
avec un rapport égal à 2.
Le rapport des volumes est donc 23 soit 8.

Quand vous avez bu la moitié de la coupe de champagne, à quelle hauteur du verre arrive le champagne restant ?
Le champagne restant arrive à la racine cubique de (1/2) de la hauteur totale du verre soit environ aux 4/5 èmes (~0.79) de la hauteur du verre.

Nous allons simuler ci-dessous deux sabliers ayant la même contenance, l'un est
conique et l'autre est cylindrique. Ensuite nous suivrons les courbes.



Deux sabliers : le cône et le cylindre

Dans le cas du cylindre, le volume est proportionnel à la hauteur du cylindre,
ce n'est absolument pas le cas avec un cône.
Ci-dessous on peut stopper faire avancer ou redémarrer l'animation.

 


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Les courbes comparées des hauteurs en fonction du volume

La hauteur du cylindre est proportionnelle au volume (droite passanr O).
La hauteur du cône augmente très vite lorsque le volume est petit puis elle croît
plus lentement au fur et à mesure que le cône s'élargit vers le haut.


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Le volume du cylindre est donné par l'expression suivante fonction de la hauteur h et du diamètre d du cylindre : .
Le volume du cône est donné par l'expression suivante :.
Lorsque la hauteur varie, le diamètre varie et donc également la surface du disque en haut du cône.

L'aire et le volume d'une sphère sont ici


 

 

Petit problème

Dans un verre conique, on a versé du mercure, puis de l'eau et enfin de l'huile de façon
à ce qu'il y ait la même hauteur de chaque produit.
Quel est celui qui pèse le plus lourd : le mercure, l'eau ou l'huile ?
La densité de l'huile est 0,915 et celle du mercure 13,59.

SOLUTION

Appelons Vm le volume du mercure, Ve le volume de l'eau et Vh celui de l'huile.
En utilisant les résultats ci-dessus, nous obtenons
Vm + Ve = 23 Vm soit Vm + Ve = 8 Vm donc Ve = 7 Vm.
Vm + Ve + Vh = 33 Vm donc Vm + 7 Vm + Vh = 27 Vm ce qui donne Vh = 19 Vm.
Les trois masses sont donc
pour l'eau : 7 Vm ;
pour le mercure : 13,59 Vm ;
et enfin pour l'huile : 0,915 x 19 Vm soit 17,384 Vm.
dans le verre c'est donc l'huile qui a la masse la plus grande, puis le mercure puis l'eau.

 

 

 

 

 

Développement du cylindre


CLIQUER puis OUVRIR puis DOUBLE CLIQUER le fichier

 

 


 
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