Le théorème de Johnson (environ 1916)

Si trois cercles de même rayon passent par un point commun P, alors leurs trois autres intersections se trouvent sur un quatrième cercle de même rayon.

 Animation interactive

Traçons les rayons de trois cercles de centres O₁, O₂ et O₃ passant par un point P fixé nous obtenons le squelette d'un cube.
Le quatrième cercle de centre O₄ dessiné en gris clair passe par les 3 intersections des cercles précédents. (Je le démontrerai ci-après).
Le centre O₁ et le point P permettent de positionner la figure.
On peut modifier le cube en déplaçant les centres O₁ et O₂ et O₃ des trois cercles.

On peut déplacer soit un seul soit deux ou trois des centres des trois cercles de base.
Les déplacements de points peuvent se faire avec la SOURIS ou bien au CLAVIER avec les quatre flèches pour chacun des trois centres O₁, O₂ et O₃.
Utiliser les différents boutons et ne pas hésiter à modifier le rayon.
Si celui-ci est modifié au clavier penser à le valider avec la touche ENTREE.

CLIQUER

Autre visualisation animée interactive de ce théorème ICI.

  Démonstration

 

Les hypothèses 3 cercles de même rayon R et de centres O1, O2 et O3 passent par le point P, donc PO3=PO1=PO2 . O4 est le centre du cercle passant par A, B et C Conclusion : Le cercle de centre O4 a pour rayon R.

Sur la figure proposée ci-dessus, les rayons PO₃, PO₂ et PO₁ sont égaux car les 3 cercles de départ passent par P.
Avec les égalités des rayons des 3 cercles, nous déduisons l'égalité des longueurs des 9 segments suivants :
O₃A = O₃P=O₃B=O₂B=O₂P=O₂C=O₁A=O₁C=O₁P.

O₄ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC tout comme P est le centre du cercle circonscrit au triangle O₁O₂O₃.

A est commun aux cercles de rayon R et de centres O1 et O3. B est commun aux cercles de rayon R et de centres O3 et O2. C est commun aux cercles de rayon R et de centres O2 et O1. O4 est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle est unique.

O1 est commun aux cercles de rayon R et de centres A et C. O2 est commun aux cercles de rayon R et de centres C et B. O3 est commun aux cercles de rayon R et de centres B et A. P est le centre du cercle circonscrit au triangle O1O2O3. Ce cercle est unique et de rayon R.

Les longueurs qui interviennent dans les deux cas ci-dessus sont toutes égales,
le point O₄ est donc aux points A, B C ce que le point P est aux points O_1, O₂ et O₃.
Le cercle de centre O₄ et circonscrit à ABC est donc de même rayon que le cercle de centre P et circonscrit à O₁O₂O₃, soit R.

On aurait pu noter que le point O₄ est symétrique du point P par rapport au centre du rectangle ABO₂O₁.

Finalement
Si trois cercles de même rayon passent par un point commun P,
alors leurs trois autres intersections se trouvent sur un quatrième cercle de même rayon.

SUITE avec le 4-cube ICI.

 

 

(1) Enoncé du théorème trouvé dans Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques de David Wells éditions Eyrolles