Pavage d'un octadécagone avec un pentagone particulier

---

Problème proposé par Michel Lafond dans Diophante.fr n°- D498.

Soient a,b et c les sommets d'un triangle équilatéral de côté égal à l'unité. On trace les cercles (G1),(G2) et (G3) de centres a,b et c et de rayon unité.
Le point A étant confondu avec le point a, on trace le point B diamétralement opposé à A sur (G2) puis le point C à l'intersection autre que A des cercles (G2) et (G3).
On trace la tangente commune (?) aux cercles (G1) et (G3) qui n'a aucun point d'intersection avec (G2). On désigne par D et E les points de tangence respectifs de (?) avec (G3) et (G1) . On obtient ainsi le pentagone convexe ABCDE.
Sur le cercle (G1) on trace le point e tel que l'angle a = (aE,ae) mesuré dans le sens horaire est de 10°. Le cercle de centre e et de rayon unité coupe (G3) au point d. On obtient ainsi le pentagone convexe abcde.
Avec k exemplaires identiques de l'un de ces pentagones, on peut paver sans trou ni chevauchement un polygone régulier de k côtés tandis qu'avec un nombre infini d'exemplaires de l'autre pentagone, on peut paver tout le plan.
Déterminer les dimensions exactes de chacun des deux pentagones ainsi que la valeur de k.Donner une représentation graphique des deux pavages réalisés avec ces deux pentagones.
Pour les plus courageux: existe-t-il d'autres valeurs entières de l'angle a en degrés = 30° telles que l'on puisse réaliser avec le deuxième pentagone abcde un pavage de même nature que celui obtenu avec a = 10°.


La solution du premier pentagone
Il s'agit de la tuile découverte en août 2015.
Vous la retrouverez dans cette page avec différentes animations :
pavage_pentagones_2015.htm
et dans la sage des pavages pentagonaux, il s'agit du pavage de type 15 :
saga_pentagones.htm


La solution du deuxième pentagone ici animée pas à pas ou en mode automatique
Le mode AUTO permet de voir défiler la construction du pavage de façon automatique.
Dans le mode MANUEL on avance pas à pas.

Les boutons couleur donnent un coloriage organisé de toutes tuiles
Cependant, chaque motif peut être colorié indépendamment des autres en utilisant le bouton couleur en haut à droite :
Choisir avec ce bouton la couleur désirée et cliquer ensuite le ou les motif(s) à colorier.

Quand les sommets du pentagone de base sont visibles, on peut agrandir ce pentagone.

Quand le pavage de l'octaèdre est complet, l' EMPREINTE du pavage est visible et
on peut recommencer en cliquant le bouton fléché à droite en mode AUTO ou MANUEL.

La vitesse de rotation des tuiles est modulable.

 

CLIQUER