Nombres premiers entre eux et probabilité

LE PROBLÈME

Choisissons au hasard deux nombres entiers. Peu importe l'ordre de grandeur.
Y-a-t'il plus de chance qu'ils soient premiers entre eux ou qu'ils ne le soient pas ?

Ce problème d'arithmétique sur les nombres premiers entre eux, va nous emmener en voyage vers les nombres premiers, les probabilités, l'algèbre,
la fonction zéta bien connue des mathématiciens. Au passage nous rencontrerons le nombre Pi.

ANIMATION

- CHOISIR le maximum des nombres entiers. S'il est très grand le calcul sera un petit peu plus long même en mode Ultra-Rapide.

- CHOISIR entre :
JOUER mode pas à pas pour une observation de chaque étape ou
SIMULATION avec de multiples expériences consécutives. -> CHOISIR le nombre d'expériences.


En mode JOUER, cliquer sur le bouton fléché pour réaliser une nouvelle expérience ;

En mode SIMULATION, cliquer sur le bouton GO pour lancer les expérimentations ;
- SI le bouton Ultra rapide est coché, le résultat est immédiat.
- SINON chaque couple d'entiers tirés au sort est représenté par le point (p,q) sur le graphique.
- si le couple est ROUGE les entiers ont au moins un diviseur commun et ne sont PAS premiers entre eux,
- si le couple est VERT les deux entiers sont PREMIERS entre eux.

Le pourcentage de couples d'entiers premiers entre eux est affiché au cours de tous les tirages.

-Le bouton RAZ permet de tout réinitialiser.
-La VITESSE d'exécution est réglable en mode SIMULATION .

SOLUTION

Il y a plus de chance qu'ils soient premiers entre eux qu'ils ne le soient pas !
La réponse est environ 60.79271 % de chances d'obtenir des nombres premiers entre eux.

La probabilité est rigoureusement : 6/π².

Étonnamment on retrouve le nombre transcendant π !
Euler (1707-1783), pour trouver ce résultat a mêlé différents domaines mathématiques comme la théorie des nombres, la trigonométrie, l'algèbre, les probabilités..

Nous allons donner ici les éléments essentiels de du cheminement menant à ce résultat

Rappel : deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun autre diviseur commun que l'unité.
On peut aussi affirmer que leur Plus Grand Diviseur Commun est 1, VOIR ICI.
Voir aussi la décomposition d'un entier en produit unique de facteurs premiers ICI.
Et la factorisation géométrique ICI.

Nous savons par le théorème fondamental de l'arithmétique que :
Tout entier se décompose de façon unique en un produit de puissances de nombres premiers.

Pour que deux nombres entiers soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu'ils n'aient aucun facteur commun dans leur décomposition en facteurs premiers.

Analysons les facteurs p premiers possibles dans les deux nombres entiers.


Soient a et b les facteurs comparés, regardons petit à petit la probabilité qu'ils ne soient pas tous les deux multiples d'un nombre premeir p.

Avec les entiers pairs, p= 2, nous avons un seul des cas :
- a pair, b pair ;
- a pair, b impair ;
- a impair, b pair ;
- a impair, b impair.

Ces quatre cas sont équiprobables.
La seule possibilité que les deux facteurs a et b soient pairs est donc 1/4 = 1/2²
DONC pour que ces deux facteurs a et b ne soient pas tous deux pairs la probabilité est 1 -1/2² = 3/2²


Avec p = 3, nous avons un seul des neuf cas :
- a multiple de 3, b multiple de 3 ;
- a a pour reste 1 dans la division par 3 , b a pour reste 0 dans la division par 3 ; (OU p congru à 1 modulo 3, q multiple de 3).
- a a pour reste 2 dans la division par 3 , b a pour reste 0 dans la division par 3 ;

- a a pour reste 0 dans la division par 3 , b a pour reste 1 dans la division par 3 ;
- a a pour reste 1 dans la division par 3 , b a pour reste 1 dans la division par 3 ;
- a a pour reste 2 dans la division par 3 , b a pour reste 1 dans la division par 3 ;

- a a pour reste 0 dans la division par 3 , b a pour reste 2 dans la division par 3 ;
- a a pour reste 1 dans la division par 3 , b a pour reste 2 dans la division par 3 ;
- a a pour reste 2 dans la division par 3 , b a pour reste 2 dans la division par 3.

Ces neuf cas sont équiprobables.
La seule possibilité que les deux facteurs a et b soient multiples de 3 est donc 1/9 = 1/3²
DONC pour que ces deux facteurs a et b ne soient pas tous deux multiples de 3 la probabilité est 1 -1/3² = 8/3²

En prenant un entier premier p, nous poursuivons le même raisonnement.
Nous obtenons p² cas équiprobables.
La seule possibilité que les deux facteurs a et b soient multiples de pest donc 1/p²
DONC pour que ces deux facteurs a et b ne soient pas tous deux multiples de p la probabilité est   1 - 1/p²

Ensuite, nous avons p=5, puis p=7, puis p=11, etc.

Les probabilités pour différentes valeurs de p premier sont indépendantes et donc on peut multiplier les probabilités pour obtenir tous les facteurs entiers premiers possibles.

AINSI la probabilité P que deux enteirs soient premiers entre eux (ils n'ont aucun facteur commun premier) est :
P = (1 - 1/2²) * (1 - 1/3²) * (1 - 1/5²) * (1 - 1/7²) *... (1 - 1/p²) * ...
Les points de suspension indiquant que le processus se poursuit sur l'infinité des nombres p premiers.


Prenons l'inverse de P, nous avons :
1/P = 1/(1 - 1/2²) * 1/(1 - 1/3²) * 1/(1 - 1/5²) * 1/(1 - 1/7²) *... 1/(1 - 1/p²) * ...
Cela s'écrit : 1/P =      où le produit infini est étendu à l'ensemble des nombres premiers.

Euler a montré que cette dernière expression est précisément la somme nommée : Cf remarques et démonstration

     avec      

            1/P =  =

 1/P = = π²/ 6.

Ce problème est appelé le problème de Bâle ou problème de Mengoli.
On peut en trouver diverses démonstrations sur le web et notamment celle d'Euler qui a le mérite d'être assez accessible.

Son inverse P est donc  6/π².

La probabilité cherchée est  6/π².