Un robot à
la coupe de pizza
LE PROBLÈME
G1911
de Diophante.fr Un robot à la découpe
A PizzaTech les pizzas sont de forme circulaire et elles sont découpées
par un robot.
Celui-ci choisit au hasard et indépendamment l’un de
l’autre deux points sur la circonférence
de la pizza puis fait une coupe selon la corde qui relie ces deux
points.
Q1 Vous demandez une pizza
de taille moyenne en spécifiant que le robot réalise
exactement trois coupes.
Déterminez l’espérance mathématique du
nombre de morceaux qui vous seront servis.
Q2 Vous souhaitez une pizza
de très grande taille pour 15 personnes.
Déterminez le nombre de coupes qu’il convient de demander
au robot pour obtenir
une espérance mathématique aussi proche que possible
de 15 morceaux.
Nota : bien entendu, dans un cas comme dans l’autre,
le client admet que les morceaux découpés n’ont
pas la même surface.
ANIMATION
Cette animation permet d'observer la variation des nombres de régions
convexes selon la configuration
et le nombre de points.
Au début de l'animation, avant de lancer les expériences
aléatoires, on peut modifier la position des extrémités
des cordes sur le cercle et observer comment le nombre de régions
varie.
En profiter pour observer les relations entre le nombre de régions
et le nombre d'intersections des cordes.
.Mode MANUEL
PAS à PAS pour réaliser un nouveau tirage, cliquer le
bouton fléché.
.Mode AUTO
effectue automatiquement le comptage des régions avec des différentes
configurations aléatoires.
.Mode RAPIDE
donne rapidement, la moyenne du nombre de régions en réalisant
le nombre d'expériences aléatoires, demandé.
.Cliquer ensuite le bouton
GO.
.CLIQUER le bouton GO
Aléas pour
lancer l'animation.
=>
ALORS, on ne peut plus déplacer les points, ceci
afin de ne pas perturber les résultats aléatoires.
.Le bouton RAZ
permet de tout réinitialiser.
.La VITESSE
d'exécution est réglable en mode SIMULATION AUTOmatique.
Lorsqu'on demande le résultat immédiat (bouton
RAPIDE), avec 7 cordes, pour un grand nombre
d'expériences, il faut patienter un petit peu...
CLIQUER
ANALYSE
Le nombre moyen de parts (évidemment non identiques), obtenu
est (k+2)(k+3)/6, lorsque k est le nombre de coupes du robot.
Ainsi pour 3 coupes
du robot, on a une moyenne de (3+2)(3+3)/6
= 5 morceaux , non identiques évidemment,
de pizza.
Pour
plus d'explications, voir
ma solution en pdf ICI
OU
plusieurs solutions sont proposées chez
Diophante.
