Le triangle équilatéral

Construction à la règle et au compas

Il est facile de construire un triangle équilatéral avec un côté de longueur r imposée, à la règle et au compas :
deux cercles de même rayon r suffisent.

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Construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle

Il est aussi facile de construire un triangle équilatéral inscrit dans un cercle donné en utilisant l'hexagone régulier.

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Construction d'un triangle en pliant un rectangle quelconque


Bien que la méthode soit moins connue, on peut aisément obtenir un triangle équilatéral à partir d'une feuille rectangulaire quelconque.
Trois plis suffisent.

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Petite explication


Dans le triangle ACB, la droite (HD) médiane du rectangle
est parallèle à (AC) et passe par le milieu de [CD],
c'est donc la droite des milieux dans le triangle ACB.
Il s'ensuit que H est le milieu de [AB]
et que la hauteur aboutissant en H est aussi médiane.
Le triangle vert est donc isocèle.
Cette hauteur par construction correspond à la largeur du rectangle.

Le triange isocèle en K, a deux hauteurs de même mesure
dont une issue du sommet principal, il est donc équilatéral.
Je laisse à votre réflexion,
cette dernière affirmation qui est très simple à démontrer.

Partage d'un triangle en trois ou quatre triangles équilatéraux

Comment partager un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux superposables ?

La méthode est généralisable à un triangle quelconque.
Mieux... on peut partager le triangle en trois triangles équilatéraux également superposables.


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Quelques propriétés


Les trois hauteurs sont de même mesure.
Elles sont tout à la fois :
hauteur, médiane, bissectrice, médiatrice.

h = a ;

BH= HC = a / 2 .


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