Comment est né ce 3ème crible:       1- Préambule       2- USA, côte Est      3- Number Theory       4- Un vice de plus      5- Un crible en deux heures chrono...

3ème crible : constructions et propriétés      1-Démonter la mécanique de la multiplication :           1-1 Quelques expériences visuelles           1-2 Conclusions sur les expériences précédentes           1-3 La réponse au pourquoi de la multiplication      2-Les coûts de comptage des nombres entiers

Le troisième crible...
ou comment construire l'ensemble des nombres premiers à la règle et au compas 

Le troisième crible

Ce crible a l'avantage de nous faire retrouver les nombres premiers en contruisant seulement des droites.

Le coût de comptage d'un entier. Pour compter 12 points, nous pouvons compter les 12 points éparpillés. Mais nous pouvons aller plus vite en les organisant en un rectangle de 3 sur 4 par exemple. Alors nous ne devons compter que 4 points sur la longueur, puis 3 points sur la largeur. Soit 7 points à dénombrer. Nous dirons que le coût de comptage est de 7. Nous aurions pu tout aussi bien les placer dans un rectangle de 2 sur 6, d'où un coût de comptage de 8. Enfin dans un rectangle de 1 sur 12, nous obtenons un coût de comptage de 13.

CLIQUER

En construisant les coûts de comptage (placés sur l'axe des ordonnées) des entiers placés sur l'axe des abscisses, nous constatons des alignements de points sur des droites d'équation : y = n + x/n avec n entier naturel.

C'est après avoir constaté et analysé cette propriété (Cf brouillon ci-dessous) qu'Emmanuel Rossignol a proposé son crible :

Le crible et les droites

Prenons les entiers supérieurs ou égaux à 1 et construisons les droites (d_n) d'équation : y = n + x/n

Nous noterons que pour chaque point tracé : l'ordonnée y correspond à un coût de comptage de l'abscisse x.

Observons maintenant les points d'abscisse entière sur l'axe des x.

Prenons l'exemple de l'entier 18 . En suivant le segment vertical tracé à partir de ce point, nous notons trois points aux intersections des droites (d_n) correspondant respectivement
au coût de comptage 9 du produit 6 x 3
puis 11 coût de comptage du produit 2 x 9
puis 19 coût de comptage du produit 1 x 18.
Nous obtenons ainsi les différentes possibilités d'écrire 18 comme produit de 2 facteurs.
Prenons l'exemple du nombre 17, un seul point rouge se trouve sur la verticale partant de 17
correspondant au coût de comptage 18 du produit 1 x 17.
Maintenant prenons le nombre 9.
Nous retrouvons en noir le point du
coût de comptage y=10 correspondant au produit 1x 9.
Pourtant 9 se décompose aussi en 3 x 3 (point rose) qui donne un coût de comptage de 6.
Observons bien le graphique :
nous ne pouvons évidemment pas obtenir ce point comme intersection de (d₃) et de (d₃).
Cependant, nous remarquons que ce point se situe à l'intersection de y = 6 et de la droite (d₃) : y = 3+x/3.

Finalement pour construire le crible, il suffit de construire toutes les droites (dn) et de noter leur intersection (correspondant à un coût de comptage) avec les droites horizontales (notées en jaune) y = c pour n et c entiers. Les nombres premiers sont ceux pour lesquels, nous n'avons qu'un seul coût de comptage.

Ci-dessus nous repérons les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 etc... 

Pourquoi ça marche ?

De façon générale nous avons
avec la droite (d_n) :   y = n + x/n
^{et la droite du coût de comptage c :   y = c :}
    n + x/n = c
    soit
    x/n = c - n
    ou
    x = cn - n² donc
    x = n ( c - n)
et en posant m = c - n :
ceci nous donne effectivement x = nm,
si n=m , alors x=n²

Remarques :
1- Intersections des droites (dn) et (dm)
    Les droites (d_n) ont pour équation y = n + x/n.
    L'intersection de (d_n) et (d_m) est obtenue en posant
    m + x/m = n + x/n.
    soit
    m² n + x n = n² m + x m
    soit
    m n (m - n) = x ( m - n)
    avec m n,
    nous pouvons simplifier par (m - n)
    et obtenir     x = m n
Ainsi donc les droites correspondant (dn) et (dm) se coupent bien en un point qui se projette en x = mn sur l'axe des abscisses.

2- Il nous manque ci-dessus le cas m = n des carrés n² et nous allons voir
    qu'ils se trouvent à l'intersection de (d_n) et de la droite d'équation y = 2n.
    En effet à l'intersection nous avons :
    n + x/n = 2n
    soit
    x/n = 2n - n
    ou
    x = 2n² - n² donc x = n²