Construire un carré d'aire triple de celle d'un carré donné
Construire un carré d'aire égale au tiers de celle d'un carré donné

Dès le début de notre ère, les géomètres des Indes ont cherché à construire
un carré d'aire égale au tiers de celle d'un carré donné, ceci sans calcul et sans utiliser de règle graduée.

Il est assez facile de construire un carré d'aire triple de celle d'un carré donné en utilisant l'escargot de Pythagore.
Notons dès maintenant que si le rapport des aires est trois, alors le rapport des longueurs est racine carrée de 3.
Dans l'escargot de Pythagore, nous avons vu comment construire successivement des segments
dont les mesures de longueurs sont les racines carrées des nombres entiers : 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.
Il suffit donc de réinvestir cette construction jusqu'à la racine carrée de trois.

Plus délicate est la réciproque :
construire un carré dont l'aire est le tiers de celle d'un carré donné :
c'est à dire un carré dont le côté sera, racine carrée de trois, fois plus petit.


ICI les solutions de Pascal Hairault (Redon).

Ci-dessous une solution animée.

 

CLIQUER

 

 

Démonstrations

1. Première partie de l'animation
Nous construisons successivement un carré vert d'aire double
puis un carré rouge d'aire triple de celle du carré initial ABCD.


Choisissons AB comme unité. L'aire de ABCD est donc de 1.
Alors la diagonale [AC] mesure (le carré ACEF a d'ailleurs pour aire 2 soit le double de celle de ABCD).
GE = 1 et
EF = AC donc EF = .
Avec le théorème de Pythagore dans le triangle GEF rectangle en E (côtés de l'angle droit : 1 et ), nous obtenons GF = .
Ainsi le carré FGIJ de côté a bien une aire de 3, soit le triple de celle de ABCD.

2. Deuxième partie de l'animation
N

Pour faciliter les calculs, choisissons cette fois une unité de longueur telle que AB de mesure unité.
Le carré ABCD a donc pour aire 3 unités d'aire.
Il nous faut démontrer que AMNP est un carré de côté 1 avec une aire de 1 unité.

Par construction, le triangle ABE est équilatéral de côté AB = .
Chacune de ses hauteurs mesure AB/ 2 c'est à dire 3/2 (On peut retrouver ce résultat avec le théorème de Pythagore).
Le centre de gravité O,
situé à l'intersection des médianes est aussi à l'intersection des deux hauteurs (car triangle équilatéral) que l'on a tracées.

O centre de gravité, est situé aux deux tiers de chaque médiane donc de chaque hauteur en partant du sommet.
Nous avons donc AO = 2/3 x 3/2
soit AO = 1.
De même EO = 1.

En construisant ensuite le carré AMNP tel que AM = AO,
nous avons bien construit un carré de côté 1 dont l'aire est l'unité et surtout trois fois plus petite que celle de ABCD.

L'aire de AMNP est égale au tiers de celle de ABCD.

Voir aussi le découpage d'un carré en cinq.

Pour en savoir un peu plus :
LE MIROIR DES MATHS
IREM de Basse-Normandie
Numéro Neuf : Avril 2012