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Le
triangle de
Pascal
(1)
Ce
triangle de Pascal
a de merveilleuses
propriétés.
En
voici quelques unes :
|  L'escalier
:
Sur
les bords,
il n'y a que des 1
jusqu'en bas.
Puis à côté
c'est la suite
des nombres 1,
2, 3, 4...
Ensuite chaque nombre
est la somme des deux du dessus.
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Ce
triangle de Pascal est aussi appelé 'de Tartaglia'.
Il était connu bien avant Pascal par les anciennes civilisations
indiennes (2000 ans avant Pascal) ou chinoises (1700 ans avant Pascal).
Son nom est attaché à Pascal car celui-ci l'a beaucoup
utilisé pour le calcul des probabilités.
Un véritable
ordinateur !
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La somme
des entiers
Si tu veux facilement
connaître la somme des
six
entiers naturels
de 1 à 6 sans te fatiguer alors c'est très facile.
Prends la troisième diagonale
ici dessinée en vert
et va jusqu'au sixième nombre,
il te donnera le résultat. Ici, c'est 21.
La somme
des sept entiers naturels de 1 à 7 donnera le septième
nombre
de cette diagonale soit 28.
La somme des entiers de 1 à 8 sera le huitième
nombre soit 36 etc.
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Les
droites et les points
Si tu veux connaître
le nombre de droites tracées avec des points dont 3 ne sont jamais
alignés, c'est très simple avec cette troisième
diagonale.
Avec 2 points : 1
droite.
Avec 3 points :
3
droites.
Avec 4 points : 6
droites.
Elle te donne aussi
le nombre de poignées de mains échangées entre
des personnes. Essaie...
Choisir
3 personnes parmi...
Si tu veux connaître
le nombre de façons de choisir 3 personnes parmi un nombre quelconque,
regarde la diagonale rose.
Il y a 1 possiblité
parmi 3 personnes.
Il y a 4
possiblités parmi 4 personnes.
Il y a 10
possiblités parmi 5 personnes.
Il y a 20
possiblités parmi 6 personnes...
Dans
la diagonale suivante on a les résultats pour 4 personnes...
D'abord 4 parmi 4, puis parmi 5
Et
tu peux toujours continuer...
Ce triangle est très utile
aux probabilités. 
Le binôme
de Newton
Très
pratique pour calculer les puissances de polynômes...
la 6ème
ligne donne les coefficients de (a+b)5 :
(a+b)5
= 1 a5
+ 5 a4b
+ 10 a3b2
+ 10 a2b3
+ 5 ab4
+ 1 b5
et
(1+1)5
= 1
+ 5
+ 10
+ 10
+ 5
+ 1
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Les coefficients de (a+b)n
sont donnés par la (n+1)ième ligne et la somme
des nombres de chaque ligne est une puissance de 2 !
Autres exemples
(on retrouve ainsi
les identités remarquables)
(a+b)2=
1 a2
+ 2 ab
+ 1 b2
(a+b)3
= 1 a3+
3
a2b + 3 ab2
+ 1 b3
(a+b)4
= 1 a4+
4 a3b
+ 6 a2b2
+ 4 ab3
+ 1 b4
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JEU
(1)
Blaise Pascal
Savant mathématicien physicien et philosophe français
(Clermont-Ferrand 1623 - Paris 1662).
Il conçut entre autres une machine arithmétique dite
machine
de Pascal capable d'effectuer
les quatre opérations
qui lui valut immédiatement une grande célébrité.
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