Utiliser ensuite la conservation du moment lors du choc entre les deux blocs.
m2 * v2 + m1 * v1 = constanteM.

Avec les variables x et y, il vient :

* + * = constanteM

SOIT

* y + * x = constanteM.

Ceci est l'équation d'une droite de pente constante proportionnelle au rapport : / .

On est amené à utiliser des segments de droite, tous parallèles, car leur pente est constante. Voici pourquoi ce qui nous intéresse dans le résultat est essentiellement le rapport des racines carrées des masses des deux blocs. Ensuite on utilise les propriétés des angles inscrits dans un cercle et on arrivera au résultat. ... Pour retrouver l'explication complète (relevant toutefois d'un bon niveau en mathématiques), voir le lien externe qui suit (en anglais).

C'est excellent : https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE&feature=youtu.be

Il y a aussi celle-ci toujours en anglais:
https://clairelommeblog.wordpress.com/2014/08/31/pi-passe-sur-le-billard/


Le processus est assez long pour obtenir de nombreuses décimales du nombre π et au bout du compte si c'est très joli, ce n'est pas très efficace.

 

CHANGEMENT de POINT de vue

Collisions sur une droite

Nous représentons maintenant sur un graphique les distances parcourues par les deux blocs.
Sur l'axe des abscisses nous notons la distance d1 parcourue par le bord gauche du gros bloc gris.
Sur l'axe des ordonnées nous notons la distance d2 parcourue par le bord droit du petit bloc rouge.

Le gros point jaune a pour coordonnées les distances d1 et d2, parcourues par les deux blocs.

Nous traçons en vert, la bissectrice de l'angle des deux axes, a pour équation y = x, c'est-à-dire d1 = d2.

Ainsi,
- chaque intersection des courbes(x,y) avec cette oblique représente une collision des deux blocs,
puisqu'alors on a égalité des distances d1 et d2 des deux blocs ;
- chaque intersection des courbes(x,y) avec l'axe (Ox) représente un rebond du bloc rouge contre le mur,
puisqu'alors la distance d2 s'annule et que la vitesse v2 change simplement de sens.


Le nombre de collisions des deux blocs, devient le nombre d'intersections des trajets avec l'axe des abscisses et avec l'oblique.

 

CLIQUER

 

 

Pour l'instant

- l'axe des abscisses peut être considéré comme un miroir. L'angle d'incidence du rayon est égal à l'angle de réflexion.
En effet, lors du rebond sur le mur,
. la vitesse du bloc gris reste inchangée,
. celle du bloc rouge, change simplement de sens, mais sa valeur absolue reste identique (n'oublions pas que nous sommes dans une situation idéale où il n'y a pas de déperdition d'énergie).

- par contre, ce n'est pas le cas de la droite verte dans le cas général, puisque l'angle de réflexion du rayon n'est pas égal au rayon d'incidence.

Nous allons donc ci-après effectuer quelques modifications afin d'obtenir l'illusion d'un rayon lumineux se réfléchissant sur deux miroirs.

 

 

 

Vers un rayon lumineux

. d1 est toujours la distance parcourue par le bord gauche du gros bloc gris.
. d2 la distance parcourue par le bord droit du petit bloc rouge.

Le gros point jaune a cette fois pour coordonnées
-> x = *d1 sur l'axe des abscisses puis
-> y = *d2 sur l'axe des ordonnées.

Nous traçons en vert, la droite d'équation   y = ( / ) * x,.

CLIQUER

Lorsque y = ( / ) * x,      avec        y = *d2     ET     x = *d1,
nous obtenons :

*d2 = ( / ) * *d1

c'est-à-dire d1 = d2.



Ainsi nous avons toujours :

- chaque intersection des courbes(x,y) avec cette oblique représente une collision des deux blocs,
- chaque intersection des courbes(x,y) avec l'axe (Ox) représente un rebond du bloc rouge contre le mur.

Le nombre de collisions des deux blocs, est toujours le nombre d'intersections des trajets avec l'axe des abscisses et avec l'oblique.

Cette fois, lorsque le 'rayon' arrive sur la droite oblique, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence (Cf démonstration ci-dessous).
La droite verte et l'axe des abscisses et peuvent être considérés comme deux miroirs sur lesquels le 'rayon lumineux' se réfléchit.

Le problème du nombre de collisions des deux blocs se ramène donc au problème du nombre de réflexions arrivant sur deux miroirs faisant entre eux un angle variable.

Retrouvez ce problème animé et résolu lumineusement en changeant encore de point de vue
ICI :
Réflexion d'un rayon lumineux entre deux miroirs.

 

 

 

DÉMONSTRATION de l'égalité de l'angle de réflexion et de l'angle d'incidence

Choisissons comme composantes du vecteur V directeur de la droite verte :     ET    .


Après la collision des deux blocs, traduite par le point C sur la droite oblique, les vitesses v1 ET  v2 deviennent v'1 ET  v'2 .

Définissons les deux vecteurs W1 et W2 par leurs composantes :
- vecteur W1 sont : dx/dt = v1    ET    dy/dt = v2.
- vecteur W2 sont : dx/dt = v'1    ET    dy/dt = v'2.

Ces vitesses vérifient l'équation de conservation de l'énergie : 0.5 * m2 * v2² + 0.5 * m1* v1² = constanteE .

Cette équation peut s'écrire :

m2 * v2² + m1 * v1² = 2*constanteE                                             OU

* * v2² + * * v1² = 2*constanteE               OU

( * v2 )² + ( * v1 ) ² = 2*constanteE                             OU

||W1|| ² = 2*constanteE

De mêm nous aurions : ||W2|| ² = 2*constanteE


Cette dernière ligne signifie que la longueur, du vecteur W1 , obtenue avec la distance euclidienne, (sa norme) est de valeur constante.
Nous avons le même résultat pour le vecteur W2.

Les deux vecteurs W1 et W2 ont donc la même norme : ||W1|| = ||W2||

Utilisons maintenant la propriété de conservation des moments

m2 * v2 + m1* v1 = constanteM           
qui s'écrit également : * + * = constanteM.

OR cette dernière équation traduit le produit scalaire du vecteur W1 par le vecteur directeur V, de la droite d'équation y = ( / ) * x :


Nous avons le même résultat avec le le produit scalaire du vecteur W2 par le vecteur directeur V :


Nous avons l'égalité des produits scalaires des vecteurs : W1 . V = W2 . V

Utilisons maintenant le produit scalaire comme, produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils fotn entre eux.
Nous obtenons :
||W1|| * ||V|| * cos(α)= ||W2|| * ||V|| * cos(β)


Et comme        ||W1|| = ||W2||,
nous déduisons qu'au signe près les angles α et β sont de même mesure.


Avant et après la collision des deux blocs en le point C, les angles sont de même mesure.
Ils peuvent être assimilés à un angle d'incidence et de réflexion d'un rayon lumineux.

Pour ce qui est des deux angles en P, sur la droite horizontale, l'égalité des mesures des angles est évidente, puisque la vitesse du petit bloc rouge qui rebondit sur le mur, change seulement de sens en gardant la même valeur absolue.
Il y a symétrie de la situation et les deux angles sont de même mesure.

On peut donc changer de point de vue et penser la situation de collision des deux blocs comme la réflexion d'un rayon lumineux sur deux miroirs faisant un angle θ, dont la tangente est le rapport des masses des deux blocs.

 

Y-a-t-il CONTRADICTION ?
Nous avons trouvé un peu plus haut que le nombre de collisions est la partie entière de : .
Avec les miroirs, si θ (en radians) et est l'angle dont la tangente est : / ,
nous trouvons que le nombre de réflexions est ( aux approximations avec la partie entière près) :
E(π / θ ) .
θ est donc l'angle dont la cotangente est / .


NON, pas de contradiction, car dans le problème qui nous intéresse, le rapport entre m1 et m2 est assez grand et l'angle θ est petit, la formule de Taylor, permet d'écrire :
tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + ... pour | x | < π/2

On pourra assimiler     tan x ~ x
π /θ       devient       π / tan θ           SOIT                 π / ( / )

qui finalement permet de retrouver : .

 

C.Q.F.D

π est irrationnel MAIS bien tourné !

 

AUTRES expériences autour du nombre π

Il existe d'autres façons expérimentales ou numériques beaucoup plus rapides de retrouver les décimales du nombre π.

En voici trois exemples dans ce site :

- Archimède il y a bien longtemps... ICI.
- Les aiguilles de Buffon ICI.
- La méthode de Monte-Carlo ICI.

Par ailleurs le nombre π se calcule avec la limite de nombreuses séries numériques convergeant plus ou moins rapidement.

Cependant dans ces méthodes, le résultat est de nature probabibiliste. On ne peut pas garantir une précision spécifique.

PAR CONTRE,
avec la méthode précédente dite du billard, idéalisée en prenant des chocs complètement élastiques, sans déperdition d'énergie, c'est différent.
La méthode est déterministe : on est CERTAIN de pouvoir obtenir le nombre désiré de décimales de π.
Bien sûr ce peut être long mais c'est certain. Il n'y a pas de hasard.

Il suffit de choisir des blocs dont les masses ont le bon rapport,
c'est-à dire 100ⁿ si l'on veut obtenir n décimales de π.

Un excellent article (en anglais) de G.GALPERIN ICI

 

 

Petite question subsidiaire pour se détendre :

-Quel est le lien entre le 14 mars et le 27 juillet ? (1)