Eléments d'Euclide Quadrature du rectangle, triangle et parallélogramme Le théorème du papillon Les parallélogrammes Le théorème de Pythagore Le théorème de Thalès

A l'époque d'Alexandre le Grand vers -350 avant notre ère, les bords du Nil étaient annuellement fertilisés par les inondations du fleuve. Les agriculteurs devaient retrouver les limites de leurs terres ou du moins retrouver une parcelle d'une superficie équivalente, car le fleuve nourricier détruisait tous les repères. Cette tâche était confiée à des gens qui "mesuraient la terre" : des GEOMETRES (du grec géo pour la terre et metron, mesure). Alexandrie possédait alors la plus grande bibliothèque de l'Antiquité. Le plus grand des mathématiciens vivant à Alexandrie, s'appelait Euclide. Il écrivit le premier ouvrage de Géométrie dont on a gardé les traces : les Eléments d'Euclide. Cet ouvrage comporte 13 livres. On retrouve dans les deux premiers des règles de démonstration qui permettent de dérouler des suites de théorèmes logiquement reliés les uns aux autres. Mais les mathématiciens d'Alexandrie ne se sont pas satisfaits pas de la résolution de ces partages de terres. Ils déroulèrent leur raisonnement hors du domaine pratique, comme un jeu de l'esprit soumis à de nouvelles règles : celles de la logique.

Le théorème du papillon
En joignant par deux sommets deux couples de points pris sur des droites parallèles, on obtient deux ailes de papillon qui ont la même aire.
Il s'agit de la proposition 27 du premier livre d'Euclide.

Animation 1 automatique

Résumé de la démonstration
Pour raison de symétrie, un triangle est exactement la moitié d'un parallélogramme.
Lorsqu'on déplace l'un des côtés du parallélogramme parallèlement au côté opposé, le parallélogramme conserve son aire.
Euclide montre ainsi que l'aire d'un triangle (moitié d'un parallélogramme) est invariante lorsqu'on déplace un sommet parallèlement au côté opposé (aujourd'hui nous retrouvons ce résultat en utilisant la formule de l'aire d'un triangle : (base x hauteur)/2 ).
En enlevant une pièce commune aux deux triangles, il déduit l'égalité des aires des deux ailes de papillon.




Animation 2 pas à pas

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