Le paradoxe de Zénon ; les premiers temps des mathématiques

Achille, "semblable aux dieux" mais non pas dieu lui-même, fut le plus fameux des héros grecs et un acteur incontournable de la guerre de Troie.
Fils de Pélée, roi des Myrmidons et de la néréide Thétis, il naquit à Larissa en Thessalie. Thétis qui était fort jolie, fut recherchée par Zeus et Poséidon pour l'épouser.
Thémis (seconde épouse de Zeus et sa conseillère) savait que le fils qui naîtrait serait plus grand et plus fort que son père.
Alors, pour éviter d'être détrônés, les dieux décidèrent de marier Thétis à Pélée, non sans quelques difficultés car elle ne voulait pas épouser un simple mortel. De ce fait leur enfant serait supérieur à son père mais inférieur aux immortels.
Suivant la tradition post homérique, Thétis tenta, à plusieurs reprises, de procurer à son fils Achille l'immortalité. Pour cela, elle le frottait le jour avec de l'ambroisie et le plongeait la nuit dans le feu céleste afin de brûler sa composante mortelle ; son père se hâta de le retirer du feu.
Toutefois le bébé eut un pied brûlé. Pélée fit appel à la science du sage Chiron. Celui-ci alla à Pallène et déterra les ossements du géant Damysos qui passait pour être le plus rapide du monde. Il remplaça ensuite l'astragale endommagé d'Achille qui devint un excellent coureur. Mais lors de la guerre de Troie son astragale de remplacement se rompit et il fut tué.
D'autres auteurs rapportent que Thésis le plongea dans le Styx (fleuve entourant les Enfers) pour le rendre invulnérable, exception faite du talon par lequel elle le tenait.

Achille et la tortue

Achille aux pieds ailés est considéré comme l'homme le plus rapide à l'opposé de la tortue animal particulièrement lent sur terre.
Les deux font une course. Un avantage est donné à la tortue, aussi petit soit-il.

Ainsi, Achille devra d'abord arriver au point d'où est partie la tortue.
Quand Achille est à l'endroit où se trouve la tortue au moment du départ, elle a elle-même avancé.
Lorsque Achille atteint ce nouvel endroit, la tortue est déjà un peu plus loin et ainsi de suite...
Il ne la rattrape donc jamais car le processus se répète INDEFINIMENTt !

Ce paradoxe n'est pas identique à celui de la dichotomie dans lequel l'espace est toujours divisé en segments égaux.
Dans celui-ci l'espace est divisé en segments de longueur décroissante proportionnelle à la vitesse des coureurs.

Dans l'animation suivante,
- choisir d'abord le rapport entre la vitesse d'Achille et celle de la tortue ;
- choisir
OU le rattrapage de la tortue : recommandé en premier
OU la course continue en temps réel ;
- VALIDER en cliquant le bouton ;
- Choisir la vitesse de l'animation et lancer la course en cliquant le bouton fléché.

On peut survoler le bouton des CONSIGNES qui affiche alors une aide.

Cliquer l'image pour OUVRIR le swf

ANALYSE

Prenons par exemple, le rapport 10 entre les deux vitesses.

En toute logique, Achille doit pouvoir rattraper la tortue : en effet au bout d'un temps égal à deux par exemple, Achille parcourt 2000 mètres et la tortue 200 mètres. Donc Achille a rattrapé la tortue sans problème.

Pourtant quand nous calculons avec le temps 1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+... la tortue a toujours une avance sur Achille. Et cela même si nous ajoutons indéfiniment une fraction du temps dix fois plus petite que la précédente ajoutée.
En fait nous avons une somme infinie de termes de plus en plus petits... et on démontre que cette somme est finie, on a :
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10 000 + ... 1/10ⁿ+ ... = 10/9
(il s'agit de la somme des termes d'une progression géométrique de raison 1/10).

Achille rattrape la tortue au temps 10/9.
A cet instant, Achille aura parcouru 10 000/9 mètres soit 1111 mètres et 1/9 mètre
et
la tortue elle aura parcouru 111 mètres et 1/9 mètre au-delà de ses 1000 mètres d'avance du début.

Dans l'animation,
- choisir d'abord le rapport entre la vitesse d'Achille et celle de la tortue ;
- VALIDER en cliquant le bouton ;
- Choisir la vitesse de l'animation et lancer la course en cliquant le bouton fléché.

La paradoxe de Zénon est un exemple de situation embarrassante où la formalisation est le seul moyen de rendre cohérentes deux descriptions incompatibles a priori. D'un côté on a une suite infinie et de l'autre une distance finie. Le paradoxe réside dans le terme indéfiniment qui paraît naïvement simple.
On dira mathématiquement que la suite des distances séparant les deux antagonistes est une suite décroissante convergente dont la limite est nulle. C'est cette notion de LIMITE d'une suite convergente qui permet de lever la contradiction.
Le concept de "suite infinie convergente" permet de concilier la finitude et l'infinitude.

Les grecs ne pouvaient concevoir qu'une somme avec une infinité de termes puisse avoir une valeur finie. Bien qu'Achille doive parcourir un nombre INFINI de laps de temps dont la durée représente une division de la durée antérieure, leur somme totale est FINIE.
Que de chemin pour arriver à ce concept !

Le premier à formaliser le problème pour éviter le paradoxe fut d'Alembert (1717-1783) puis Cauchy, Bolzano, Weierstrass.
La notion d'infini n'est pas simple... Georg Cantor (1845-1918), qui définit la théorie des ensembles et chercha à caractériser la notion d'infini, mourut en hôpital psychiatrique.

DECOUPAGE de figures : une feuille A4 puis un disque entier.

Découpons une feuille A4 en deux parties identiques.
Recommençons en découpant en deux morceaux identiques la partie restante.
...
On pourrait théoriquement répéter la procédure indéfiniment. Nous serons simplement limités par la petitesse des morceaux obtenus.

La réunion de toutes les parties obtenues donne la feuille A4.

Nous découvrons ainsi comment la feuille finie A4 peut être théoriquement décomposée en une infinité de morceaux qui sont de plus en plus petits :
1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + 1/2⁴ + ... 1/2ⁿ+ ... = 1

Cliquer la flèche plusieurs fois de suite (12 fois de suite ), pour effectuer pas à pas les découpages successifs.

Les premiers temps des mathématiques (Cf aussi ICI mon petit historique de la géométrie)

Pythagore, Eudoxe, Euclide, Archimède font partie des personnages les plus importants des mathématiques grecques.

La naissance des mathématiques remonte au moins au VI^e siècle av. J.-C ;Pythagore fut l'un des premiers avant Euclide à établir la nécessité de justifier les propositions, à synthétiser et à organiser un savoir dispensé.
Il s'appuya sur la logique, élément fondamental de la philosophie et l'appliqua aux mathématiques de façon si parfaite qu'on a aujourd'hui le sentiment que c'est la philosophie qui l'emprunta aux mathématiques.
Pour les pythagoriciens, les mathématiques n'étaient pas une simple attitude scientifique : elles étaient l'explication du monde, l'instrument pour le comprendre et une voie pour atteindre la perfection.

Au VI^e siècle av. J.-C , l'épicentre du développement culturel se déplace de la Méditerranée et de l'Egypte vers le monde grec. Transcrite au moyen de l'alphabet latin, la pensée grecque dominera l'Europe pendant treize siècles.
L'importance des liens associant l'héritage grec d'Occident avec les autres civilisations de l'Antiquité a été mis en évidence en 1799 avec la découverte puis le déchiffrage ving-cinq ans plus tard de la Pierre de Rosette, par Jean-François Champollion et Thomas Young.
Lorsque des textes de l'Antiquité autres que ceux de la Grèce et de Rome ont pu être lus, on a alors mesuré l'avancement intellectuel des autres civilisations. Ainsi on s'aperçut que, en dépit de leur importance, les écrits grecs n'étaient pas toujours des originaux.

Alors que la spéculation philosophique était propre à la Grèce, l'esprit babylonien et égyptien était moins organisé et plutôt fondé sur des données empiriques et inductives.
Les mathématiques babyloniennes et égyptiennes étaient instrumentales ; elles fournissaient le moyen de résoudre des problèmes pratiques sans élaborer de lois générales.
Par contre les grecs considéraient la science comme une fin en soi ; cela permit d'organiser logiquement la connaissance, la spéculation et la déduction.

Les grecs ont emprunté de nombreux principes de géométrie aux Egyptiens pour lesquels ils éprouvaient de l'admiration.
Ainsi, pour vérifier la perpendicularité des constructions, les Egyptiens utilisaient une corde avec 3, 4 et 5 noeuds (triplet pythagoricien) disposés à intervalles réguliers.
CEPENDANT, nous ne disposons d'aucune preuve permettant d'affirmer que cette connaissance pratique les avait amenés à formaliser la notion de triangle rectangle et le théorème général qui liait les distances de ses côtés. Si les Egyptiens utilisèrent une quelconque version du théorème de Pythagore pour construire les pyramides, les archéologues n'ont pas encore trouvé le document qui le démontre.
Pythagore ne fut sans doute pas le premier à entrevoir le célèbre théorème qui porte son nom, par contre il fut certainement le premier à en donner une justification par une démonstration du théorème général, pour tous les triangles rectangles.

De plus, au cours des voyages commerciaux, les marchands grecs avaient appris les mathématiques pratiquées en Mésopotamie et en Inde. MAIS, c'est dans l'époque hellénistique que ces connaissances s'organiseront et connaîtront leur apogée.

Thalès (-620,-550) fut sans doute l'un des fondateurs des mathématiques grecques, un savant universel, curieux de tout, cherchant à découvrir et à expliquer le monde. Il était très proche des conceptions modernes de la science :
Pourquoi en est-il ainsi ? Pourquoi cela fonctionne-t-il ?

Thalès avait été invité par le roi Amasis, averti de ses grandes connaissances. Il se montra à la hauteur de sa réputation : le roi déclarait ne pas connaître la hauteur des fantastiques pyramides déjà presque bimillénaires.
Thalès planta sa canne dans le sable verticalement et dit au roi : "l'ombre de ma canne est exactement égale à sa hauteur; il doit en être de même pour votre pyramide : faites mesurer son ombre vous aurez sa hauteur ! "
Bien plus tard, à la fin du XIX^e siècle, on appellera en France, "de Thalès" le théorème qui porte aujourd'hui ce nom.

Si deux triangles ABC et A'B'C' ont leurs côtés parallèles, alors on a :
AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'

C'est en GRECE que s'effectua le passage de la pratique à la théorie et que furent créés les concepts de démonstration : axiome et théorème. C'est là qu'on trouve la dénomination "mathématiques", du grec " mathema" qui signifie "ce qui enseigne".
"Mathématiques" désigne donc "toutes les formes de connaissance".

Les pythagoriciens furent les premiers à être nommés "mathematikoi", soit "mathématiciens", et leur grand maître Pythagore fut le premier à s'autodésigner "philosophe" c'est-à-dire "celui qui aime le savoir".

Pythagore (-570,-500)
Les origines de Pythagore sont mystérieuses. Il serait né autour de l'an 570 av.J.-C. sur l'île de Samos, dans la mer Egée, le long de la côte de l'Asie Mineure. Ce n'était pas très loin de la ville de Milet, où vivait le célèbre philosophe Thalès, penseur grec à l'influence considérable. Il semble que Thalès ait transmis à Pythagore sa passion des mathématiques et de la philosophie. C'est d'ailleurs à Thalès que remonte la tradition mathématique de démonstration des résultats.
Après un périple réel ou imaginaire vers l'Egypte, la Perse et enfin vers Babylone, il s'établit finalement à Crotone, dans le sud de l'Italie, où il fonda une société de disciples.

Les habitants de Crotone le contraignirent à s'enfuir à Métaponte, toujours au sud de l'Italie, où il mourut aux alentours de 500 av.J.-C.

Les pythagoriciens se conformaient entre eux à la tradition orientale de transmission orale de la connaissance. Par respect vis-à-vis du maître, toutes les découvertes de la communauté étaient presque toujours attribuées à Pythagore. De son vivant Pythagore avait interdit la divulgation de ses recherches. Ce serment de silence qui liait les membres de la communauté pythagoricienne eut de tragiques conséquences.
Un jour, Hippase de Métaponte, éminent membre de la secte pythagoricienne, joua avec le théorème de son maître pour calculer la diagonale d'un carré. Juste la soif du savoir... Il choisit 1 comme mesure du côté du carré. Il trouva pour l'hypoténuse une mesure de

donc irrationnelle (ne peut s'écrire comme le quotient de deux entiers, on disait à cette époque que l'hypoténuse n'est pas mesurable à partir des côtés).
Cette découverte d'Hippase détruisit l'idée merveilleuse d'unicité numérique du pythagorisme.
La légende raconte que les pythagoriciens finirent par jeter le mathématicien à la mer par-dessus bord pour qu'il soit flagellé à perpétuité par les vagues. Cela, "parce qu'ayant dévoilé le secret de l'inexprimable, il était passible du plus terrible des châtiments, celui d'être dépossédé de son être et renvoyé d'où il venait, le néant".

Pythagore fut le premier qui réussit le gigantesque progrès de conduire les exemples concrets vers la théorie générale.
Il passa des exemples particuliers de triangles à un théorème général qui s'appliquait pour tout triangle rectangle.
Comme tous les géomètres grecs, il établit un schéma théorique applicable quels que soient les cas.

Zénon

L'infini intervint également dans les paradoxes de Zénon qui soulignaient entre autres choses, la confrontation dialectique entre diverses tendances philosophiques grecques.
Ces affrontements provoquèrent rapidement une interdiction, du moins une limitation de l'utilisation de l'infini.

Après le choc de la découverte des grandeurs incommensurables (provoqué par la mesure de la diagonale du carré), ce fut sans doute Eudoxe qui fut le plus perspicace de tous.

Eudoxe de Cnide, (disciple de Platon) donna une définition de l'infini qui permit entre autres de surmonter la crise des incommensurables. On retrouve cette définition dans le livre V des Eléments d'Euclide dans lequel Euclide réserve une attention particulière aux nombres irrationnels.
C'est... le début de la définition des irrationnels que Dedekind trouvera au XIX^e siècle !

Pour Eudoxe, l'idée est que la possibilité d'approximation indéfinie est opératoirement finie. Il mesure une circonférence par la somme des mesures de côtés polygonaux très petits.
Eudoxe établit la méthode d'exhaustion pour calculer surfaces et volumes : il s'agit dans l'idéal de réaliser exhaustivement le processus d'approximation des grandeurs jusqu'à son terme ultime (par passage à la limite à l'infini).

Archimède et l'infini (-287,-212)

Pour les grecs, l'infini est un monstre à deux têtes ou à deux colonnes vertébrales : l'infiniment petit et l'infiniment grand. L'infini fut très tôt l'objet de débats et de controverses. Il apparut implicitement dans l'impossibilité de mesurer la diagonale d'un carré et son côté avec la même unité de mesure. Comme nous l'avons vu, cette découverte fut fatale à la conception pythagoricienne du monde et a déclenché la première crise des fondements mathématiques.

Avec Archimède, les mathématiques et la philosophie se préoccupent de l'infini.
Archimède est le seul mathématicien grec à avoir fait fi de la négation de l'infini en acte énoncée par Aristote ; il a cependant agi avec modération et raison. En effet, il n'avait pas la prétention de lancer une insurrection contre Aristote puisque, disait-il, ses arguments "étaient loin de constituer une démonstration".

Mosaïque retrouvée à Pompéi.

La légende raconte qu'Archimède fut tué à l'âge de 70 ans, lors de la conquête de Syracuse, par un soldat du général romain Marcellus en 212 av J.C.
"Un soldat entré dans sa maison pour la piller lui demanda qui il était. Trop occupé par la résolution de son problème dont il avait tracé la figure dans la poussière, Archimède ne put répondre à la question et dit seulement :
-de grâce, ne dérange pas cette poussière.
Prenant cette réponse pour du mépris, le soldat lui trancha la tête."

Plutarque rend compte dans son ouvrage (1er siècle de notre ère) 'Vie de Marcellus' que Marcellus en fut vivement affligé et traita honorablement la famille de la victime.

Archimède a su faire une utilisation magistrale de la méthode d'exhaustion en calculant par exemple la surface des spirales. Il fut un précurseur du calcul intégral qui ne réapparaîtra que... deux mille ans plus tard au XVII^e siècle !
La méthode consiste à considérer une aire comme une série de segments et un volume comme une série d'aires.
Par exemple " les droites tracées dans un triangle constituent ce même triangle ". Ces collections sont nécessairement infinies.

Avant le XVII^e siècle, les contributions liées au calcul infinitésimal sont très minces. Ensuite, une raison théologique permit l'utilisation de l'infini avec plus de liberté que dans le monde grec : l'infini était conçu comme un attribut du Dieu des chrétiens ; Newton lui-même, fervent théologien, croyait en un Dieu omnipotent.

Les paradoxes de Zénon

Zénon d'Elée (-490,-430)

Pour l'école éléatique à laquelle appartenait Parménide (-530, -460), la réalité, l'univers, ne pouvaient avoir une origine et donc, ni début, ni fin ( L’école éléatique est une école de philosophie fondée par Xénophane de Colophon, en Campanie, dans le sud de l'Italie actuelle, à Élée, d'où le qualificatif éléatique.).
La source principale de la pensée de Zénon, nous est parvenue par le Parménide, l'un des dialogues de Platon.
Il affirme que "tout est un" et que "le changement n'existe pas".
Aristote considère Zénon comme l'inventeur de la dialectique (méthode de raisonnement qui cherche à établir la vérité en défendant successivement des thèses opposées) ; l'œuvre de Zénon a été consacrée à argumenter contre les contradicteurs de son maître Parménide. Il est principalement connu de nos jours pour ses paradoxes restés célèbres dans l'histoire de la philosophie, en particulier à cause des réfutations d'Aristote. Ces paradoxes, ont souvent pour but de montrer l'impossibilité du mouvement.

A propos de Zénon, Bertrand Russel affirme dans Les principes des mathématiques I, 1903 :
"Après avoir été réfutés durant deux mille ans, ces sophismes furent réhabilités et devinrent le fondement de la renaissance mathématique...".

Les paradoxes

Le paradoxe est une forme de raisonnement qui va à l'encontre de la pensée courante. On raisonne à partir d'un principe avec l'idée d'arriver à des conclusions contradictoires, ce qui remet en cause le principe sur lequel elles se fondent.

L'un des paradoxes les plus populaires dans l'Antiquité est appelé "paradoxe du menteur" ; proposé par Epiménide le Crétois, il s'énonce ainsi :
-"Tous les Crétois sont des menteurs."
Epiménide ne peut dire la vérité puisqu'il est Crétois, mais il ne ment pas non plus puisqu'il affirme quelque chose de vrai, d'où la contradiction.

Zénon énonça de nombreux paradoxes (une quarantaine), les plus connus sont :
- la dichotomie ;
- Achille et la tortue ;
- la flèche volante ;
- le stade

La dichotomie ou l'impossibilité du mouvement (Cf LIEN externe : video anglaise ICI)
Un mobile devant se déplacer entre A et B, doit parcourir la moitié de la distance entre A et B, puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite. Du fait de l'infinité des distances à parcourir, le mobile ne peut le faire en un temps fini et donc le mouvement est impossible.

La flèche volante
C'est assez confus... Une flèche qui vole est en fait immobile. A chaque instant, la flèche est dans un espace égal à elle-même. Elle est donc à chaque instant au repos. Si on décompose le mouvement en une suite d'instants, elle ne peut donc pas se mouvoir, puisqu'elle est constamment au repos.

Le stade
Un convoi de quatre wagons identiques croise sur un stade un autre convoi de wagons qui va en sens inverse et un convoi à l'arrêt. Dans le même temps où il parcourt deux wagons du convoi immobile, il croise quatre wagons du convoi allant en sens contraire. Donc le train a parcouru dans le même temps deux distances différentes. On peut aussi dire que la moitié d'une durée est égale à cette durée puisqu'il faut le même temps pour parcourir deux wagons que pour en parcourir quatre.
Ce paradoxe est incertain et férocement critiqué par Aristote qui prétend justement que Zénon prend une même référence pour les wagons au repos et en mouvement.