Une construction ancienne du pentagone régulier

Nous allons construire un pentagone régulier par une méthode venant des Compagnons.

La construction s'effectue à partir d'un rectangle barlong ABCD de rapport 2 sur 1 (rappelant certaines travées de nef d'églises gothiques).
AB = 2R et CB = 2r.
Tracer le milieu O d'une longueur et le centre O' du rectangle.
On trace ensuite le cercle de centre O de rayon R puis
le cercle de centre O' et de rayon r.
Ce dernier cercle coupe la diagonale du rectangle en M et N.

Les cercles
.de centre D passant par M et
.de centre D passant par N coupent le cercle de rayon R en H, G, E et F.
Le pentagone HECFG est le pentagone régulier cherché.

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Démonstration 
Choisissons 2R pour la longueur du rectangle et 2r largeur du rectangle avec r = R/2.
Dans le triangle rectangle DEC ( inscrit dans un demi cercle de rayon R), nous avons
DC = 2R      et    CE² = DC² - DE²
donc CE² = 4 R² - DE²
or DE = DN = DO' + O'N = DO' + r
Dans le triangle rectangle DOO' nous avons DO'² = OO'² + DO² soit DO'² = r² + R²
d'où DO'² = r² + R² = (R/2)² + R² soit
DO'² = R²/4 + R² = 5R²/4 et
DO' = R/2
alors DE = DO' + r devient DE = R/2 + R/2 soit DE = (1 + ) R/2
donc CE² = 4 R² - DE² = 4 R² - R²/4 (1 + )²
Cela donne CE = R/2

Nous retrouvons HG = CE = 2 R () / 4 = 2 R sin (π/5) .
Eventuellement, voir la page du triangle d'or pour retrouver ce résutat.

Il s'agit donc bien du côté du pentagone régulier.

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